Encontre o ponto de interseção entre as retas: r: X=(-1,4,-2)+\lambda(2,-2,5), \lambda \in \mathbb{R} e s: X=(-1,3,5)+t(-2,3,-12), t \in \mathbb{R}.

Escolha uma opção:

a. (-5,8,-12)
b. (-3,6,-7)
c. (3,0,8)
d. (7,-4,18)
e. (5,-2,13)

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma paramétrica em \mathbb{R}^3 e pede o ponto de interseção. O conteúdo é resolver o sistema obtido ao igualar as expressões das coordenadas em função de \lambda e t.

Passo 2

Igualando as coordenadas de r e s obtemos o sistema
\begin{cases} -1 + 2\lambda = -1 - 2t,\\\\ 4 - 2\lambda = 3 + 3t,\\\\ -2 + 5\lambda = 5 - 12t. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação
-1 + 2\lambda = -1 - 2t
segue 2\lambda = -2t e, portanto,
\lambda = -t.

Passo 4

Substituindo \lambda = -t na segunda equação
4 - 2(-t) = 3 + 3t
temos 4 + 2t = 3 + 3t, de onde
t = 1 \quad\text{e}\quad \lambda = -1.

Passo 5

Verificando a terceira equação com t=1 e \lambda=-1:
-2 + 5(-1) = -7 e 5 - 12(1) = -7, consistente.
O ponto de interseção é
P = \bigl(-1 + 2(-1),\;4 - 2(-1),\;-2 + 5(-1)\bigr) = (-3,6,-7).

Passo 6

Esse ponto coincide com a alternativa (b).

Resposta

(b)

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