Determine:
o vetor normal e a curvatura de r(t)=(t^2, sen(t)-t cos (t), cos (t)+t sen(t)), t>0;

Passo 1

O enunciado dá a curva
vec r(t) = l(t^2,;sin(t)-tcos(t),;cos(t)+tsin(t)r), t>0,
e pede o vetor normal principal vec N(t) e a curvatura kappa(t). Vamos usar as fórmulas
vec T=vec r'|vec r'|,
vec N=vec T'|vec T'| e
kappa=|vec T'||vec r'|.

Passo 2

Calcular vec r'(t) e seu módulo. Derivando componente a componente,
vec r'(t) = l(2t,;tsin(t),;tcos(t)r)
O módulo é
|vec r'(t)| = raiz(2t)^2 + (tsin t)^2 + (tcos t)^2 = raiz4t^2 + t^2(sin^2 t+cos^2 t) = raiz5,t^2 = raiz5,t
Logo o versor tangente é
vec T(t) = vec r'(t)|vec r'(t)| = l(tfrac2raiz5,;tfracsin traiz5,;tfraccos traiz5r)

Passo 3

Calcular vec T'(t) e então vec N(t). Como a primeira componente de vec T é constante,
vec T'(t) = l(0,;tfracddttfracsin traiz5,;tfracddttfraccos traiz5r) = l(0,;tfraccos traiz5,;-tfracsin traiz5r)
O módulo de vec T'(t) é
|vec T'(t)| = raiz0^2 + cos^2 t5 + sin^2 t5 = raiz15 = 1raiz5
Então o vetor normal principal fica
vec N(t) = vec T'(t)|vec T'(t)| = raiz5,l(0,;tfraccos traiz5,;-tfracsin traiz5r) = l(0,;cos t,;-sin tr)

Passo 4

Calcular a curvatura pelo quociente |vec T'|/|vec r'|:
kappa(t) = |vec T'(t)||vec r'(t)| = tfrac1raiz5raiz5,t = 15,t

Resposta

vec N(t) = l(0,;cos t,;-sin tr),
kappa(t) = 15,t

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