5-38 Calcule a integral.
{\int \operatorname{sen} \pi t \cos \pi r d t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sin(\pi t)\,\cos(\pi r)\,dt.
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas elementares. Vamos usar a propriedade de que constantes em relação à variável de integração podem sair da integral e a fórmula básica
\int \sin(a t)\,dt = -\frac{1}{a}\cos(a t) + C.

Passo 2

Repare que \cos(\pi r) não depende de t, logo é constante em relação à integração. Podemos fatorá-la:
\int \sin(\pi t)\,\cos(\pi r)\,dt = \cos(\pi r)\int \sin(\pi t)\,dt.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula da integral de \sin(\pi t) com a=\pi:
\int \sin(\pi t)\,dt = -\frac{1}{\pi}\cos(\pi t) + C.

Passo 4

Basta multiplicar pelo fator \cos(\pi r):
\cos(\pi r)\int \sin(\pi t)\,dt = \cos(\pi r)\Bigl(-\tfrac{1}{\pi}\cos(\pi t)\Bigr) + C = -\frac{\cos(\pi r)\,\cos(\pi t)}{\pi} + C.

Resposta

-\frac{\cos(\pi r)\,\cos(\pi t)}{\pi} + C.

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