5.38 O campo de velocidade de um escoamento é dado por:
(a) O escoamento é em regime permanente ou transiente?
(b) É possível aproximar o escoamento como um escoamento bidimensional?
(c) Determine o campo de aceleração desse campo de velocidade.
(a) O escoamento é em regime permanente ou transiente?
(b) É possível aproximar o escoamento como um escoamento bidimensional?
(c) Determine o campo de aceleração desse campo de velocidade.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
(a) verificar se o escoamento é em regime permanente (steady) ou transiente (unsteady);
(b) verificar se é possível aproximar o escoamento como bidimensional;
(c) determinar o campo de aceleração desse campo de velocidade.
(a) verificar se o escoamento é em regime permanente (steady) ou transiente (unsteady);
(b) verificar se é possível aproximar o escoamento como bidimensional;
(c) determinar o campo de aceleração desse campo de velocidade.
Informações fornecidas no enunciado: o enunciado afirma que “O campo de velocidade de um escoamento é dado por:” mas o próprio campo de velocidade
(a expressão matemática) não foi incluído na pergunta enviada. Portanto, não há uma expressão explícita de
ou de suas componentes para trabalhar.
Passo 2
O que significa (a) — como eu checaria se o escoamento é permanente ou transiente:
- Definição: o escoamento é permanente (steady) se as propriedades do escoamento em um ponto fixo do espaço não mudam no tempo. Em termos do campo de velocidade, isso significa que a derivada parcial em relação ao tempo é nula:
- Procedimento prático na prova:
- Pegue a expressão do campo de velocidade
. Escreva suas componentes como onde . - Calcule
. - Se todas essas derivadas parciais forem identicamente zero, o escoamento é permanente; se alguma delas for diferente de zero (dependência explícita em
), o escoamento é transiente.
- Pegue a expressão do campo de velocidade
- Exemplo rápido para fixar a ideia:
- Se
então
logo é transiente. - Se
então , logo é permanente.
- Se
Passo 3
O que significa (b) — como verificar se é razoável aproximar como escoamento bidimensional:
- Critério estrito para ser exatamente bidimensional: as componentes e dependências espaciais devem satisfazer
ou, equivalentemente,
e não haja dependência das componentes em
. Ou seja,
aplicado a
e
deve ser zero.
- Critério de aproximação (quando é aceitável aproximar como 2D): se a componente na direção
for muito menor que as restantes e variações com forem desprezíveis no domínio de interesse, pode-se tratar como aproximadamente bidimensional. Em provas, normalmente pede-se a verificação exata: verifique se e se não dependem de . - Procedimento prático na prova:
- Identifique a componente
. Veja se é zero para todo ponto (se for, bom sinal). - Verifique se
. Se sim, o escoamento é 2D.
- Identifique a componente
- Exemplo:
-
depende só de e e → 2D. -
tem pequeno mas não nulo → só é aproximável como 2D se justificar que é desprezível para o problema.
-
Passo 4
O que significa (c) — como determinar o campo de aceleração:
- A aceleração de uma partícula fluida é a derivada material (ou derivada convectiva) do campo de velocidade. Em notação vetorial:
Expliquei as partes:
-
é a taxa de variação local da velocidade no tempo (contribuição transiente). -
é a parcela convectiva: mudanças de velocidade experimentadas pela partícula ao se deslocar por regiões com diferentes velocidades. - Em componentes cartesianas, se
, então
- Procedimento prático na prova (passo a passo):
- Escreva
. - Calcule as derivadas parciais temporais
. - Calcule as derivadas espaciais
. - Monte os termos convectivos
. - Some a parte temporal com a convectiva para cada componente.
- Escreva
- Exemplo numérico-pedagógico (mostra o mecanismo; não usa sua questão porque faltou o campo):
- Suponha
com constantes e sem dependência em . Então
e as derivadas espaciais são . Assim - Suponha
- Esse exemplo mostra claramente como montar cada termo.
Passo 5
Por que não posso calcular as respostas pedidas diretamente para o seu exercício:
- A expressão do campo de velocidade
não foi fornecida na pergunta. Sem essa expressão não é possível: - (a) calcular
para decidir se é permanente ou transiente; - (b) verificar se
e se de e é nulo para concluir sobre bidimensionalidade; - (c) efetuar as derivadas e montar os termos convectivos para obter
.
- (a) calcular
- Se você quiser, envie a expressão do campo de velocidade (ou uma imagem contendo ela). Com a expressão eu faço exatamente os passos acima, calculo as derivadas e apresento a solução detalhada e passo a passo — com todas as contas desenvolvidas como você pediu.
Resposta
(a) Não é possível determinar porque a expressão do campo de velocidade
não foi fornecida.
(b) Não é possível determinar porque a expressão do campo de velocidade não foi fornecida.
(c) Não é possível determinar porque a expressão do campo de velocidade não foi fornecida.
(b) Não é possível determinar porque a expressão do campo de velocidade
(c) Não é possível determinar porque a expressão do campo de velocidade