5.38 O campo de velocidade de um escoamento é dado por:
(a) O escoamento é em regime permanente ou transiente?
(b) É possível aproximar o escoamento como um escoamento bidimensional?
(c) Determine o campo de aceleração desse campo de velocidade.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
(a) verificar se o escoamento é em regime permanente (steady) ou transiente (unsteady);
(b) verificar se é possível aproximar o escoamento como bidimensional;
(c) determinar o campo de aceleração desse campo de velocidade.
Informações fornecidas no enunciado: o enunciado afirma que “O campo de velocidade de um escoamento é dado por:” mas o próprio campo de velocidade \mathbf{v} (a expressão matemática) não foi incluído na pergunta enviada. Portanto, não há uma expressão explícita de \mathbf{v}(x,y,z,t) ou de suas componentes para trabalhar.

Passo 2

O que significa (a) — como eu checaria se o escoamento é permanente ou transiente:
  • Definição: o escoamento é permanente (steady) se as propriedades do escoamento em um ponto fixo do espaço não mudam no tempo. Em termos do campo de velocidade, isso significa que a derivada parcial em relação ao tempo é nula:
\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}=\mathbf{0}.
  • Procedimento prático na prova:
    1. Pegue a expressão do campo de velocidade \mathbf{v}(x,y,z,t). Escreva suas componentes como \mathbf{v}=(u,v,w) onde \,u=u(x,y,z,t),\;v=v(x,y,z,t),\;w=w(x,y,z,t).
    2. Calcule \dfrac{\partial u}{\partial t},\;\dfrac{\partial v}{\partial t},\;\dfrac{\partial w}{\partial t}.
    3. Se todas essas derivadas parciais forem identicamente zero, o escoamento é permanente; se alguma delas for diferente de zero (dependência explícita em t), o escoamento é transiente.
  • Exemplo rápido para fixar a ideia:
    • Se \mathbf{v}=(x+2t,\;y,\;0) então
    \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}=\left(\frac{\partial}{\partial t}(x+2t),\frac{\partial}{\partial t}y,0\right)=(2,0,0)\neq\mathbf{0},logo é transiente.
    • Se \mathbf{v}=(y,\,-x,\,0) então \partial \mathbf{v}/\partial t=\mathbf{0}, logo é permanente.

Passo 3

O que significa (b) — como verificar se é razoável aproximar como escoamento bidimensional:
  • Critério estrito para ser exatamente bidimensional: as componentes e dependências espaciais devem satisfazer
\mathbf{v}=(u(x,y,t),\;v(x,y,t),\;0)
ou, equivalentemente, w\equiv 0 e não haja dependência das componentes em z. Ou seja, \partial/\partial z aplicado a u e v deve ser zero.
  • Critério de aproximação (quando é aceitável aproximar como 2D): se a componente na direção z for muito menor que as restantes e variações com z forem desprezíveis no domínio de interesse, pode-se tratar como aproximadamente bidimensional. Em provas, normalmente pede-se a verificação exata: verifique se w=0 e se u,v não dependem de z.
  • Procedimento prático na prova:
    1. Identifique a componente w. Veja se w(x,y,z,t) é zero para todo ponto (se for, bom sinal).
    2. Verifique se \dfrac{\partial u}{\partial z}=\dfrac{\partial v}{\partial z}=0. Se sim, o escoamento é 2D.
  • Exemplo:
    • \mathbf{v}=(\sin y,\;x^2,\;0) depende só de x e y e w=0 → 2D.
    • \mathbf{v}=(\sin y,\;x^2,\;10^{-3}) tem w pequeno mas não nulo → só é aproximável como 2D se justificar que 10^{-3} é desprezível para o problema.

Passo 4

O que significa (c) — como determinar o campo de aceleração:
  • A aceleração de uma partícula fluida é a derivada material (ou derivada convectiva) do campo de velocidade. Em notação vetorial:
\mathbf{a}=\frac{D\mathbf{v}}{Dt}=\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}.
Expliquei as partes:
  • \dfrac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} é a taxa de variação local da velocidade no tempo (contribuição transiente).
  • (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} é a parcela convectiva: mudanças de velocidade experimentadas pela partícula ao se deslocar por regiões com diferentes velocidades.
  • Em componentes cartesianas, se \mathbf{v}=(u,v,w), então
a_x=\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z},
a_y=\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z},
a_z=\frac{\partial w}{\partial t}+u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}.
  • Procedimento prático na prova (passo a passo):
    1. Escreva u,v,w.
    2. Calcule as derivadas parciais temporais \partial u/\partial t,\partial v/\partial t,\partial w/\partial t.
    3. Calcule as derivadas espaciais \partial u/\partial x,\partial u/\partial y,\ldots.
    4. Monte os termos convectivos u\partial(\cdot)/\partial x + v\partial(\cdot)/\partial y + w\partial(\cdot)/\partial z.
    5. Some a parte temporal com a convectiva para cada componente.
  • Exemplo numérico-pedagógico (mostra o mecanismo; não usa sua questão porque faltou o campo):
    • Suponha \mathbf{v}=(ax,\;by,\;0) com a,b constantes e sem dependência em t. Então
    \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}=\mathbf{0},e as derivadas espaciais são \partial u/\partial x=a,\;\partial u/\partial y=0,\;\partial v/\partial x=0,\;\partial v/\partial y=b. Assim a_x = u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y} = (ax)\cdot a + (by)\cdot 0 = a^2 x,
a_y = u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y} = (ax)\cdot 0 + (by)\cdot b = b^2 y,
a_z=0.
  • Esse exemplo mostra claramente como montar cada termo.

Passo 5

Por que não posso calcular as respostas pedidas diretamente para o seu exercício:
  • A expressão do campo de velocidade \mathbf{v}(x,y,z,t) não foi fornecida na pergunta. Sem essa expressão não é possível:
    • (a) calcular \partial \mathbf{v}/\partial t para decidir se é permanente ou transiente;
    • (b) verificar se w\equiv 0 e se \partial/\partial z de u e v é nulo para concluir sobre bidimensionalidade;
    • (c) efetuar as derivadas e montar os termos convectivos para obter \mathbf{a}.
  • Se você quiser, envie a expressão do campo de velocidade (ou uma imagem contendo ela). Com a expressão eu faço exatamente os passos acima, calculo as derivadas e apresento a solução detalhada e passo a passo — com todas as contas desenvolvidas como você pediu.

Resposta

(a) Não é possível determinar porque a expressão do campo de velocidade \mathbf{v}(x,y,z,t) não foi fornecida.
(b) Não é possível determinar porque a expressão do campo de velocidade \mathbf{v}(x,y,z,t) não foi fornecida.
(c) Não é possível determinar porque a expressão do campo de velocidade \mathbf{v}(x,y,z,t) não foi fornecida.

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