Com base nas informações do texto abaixo responda as questões
Um engenheiro deve realizar a fixação de um cano que escoa um fluido. O cano utilizado contém a seção reta constante e área igual a
. O escoamento é em regime permanente. O cano tem 4 perfurações idênticas, diametralmente opostas, sendo que a reta que liga o centro de duas delas é perpendicular à reta que liga as outras duas. O somatório das vazões nos furos é igual a
40 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}
7 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}
150 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
423,650 \mathrm{kPa}
4 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$.
O módulo da força resultante, em
, na direção radial do fluido sobre o cano é: ( 1,5 pontos).
a) 0
b) 15
c) 25
d) 35
Um engenheiro deve realizar a fixação de um cano que escoa um fluido. O cano utilizado contém a seção reta constante e área igual a
O módulo da força resultante, em
a) 0
b) 15
c) 25
d) 35
Passo 1
O enunciado pede o módulo da força resultante, em
, na direção radial do fluido sobre o cano. Dados fornecidos (peguei alguns itens diretamente do enunciado e confirmei a disposição dos furos na imagem):
- Área da seção reta do cano:
. - Regime permanente.
- Somatório das vazões mássicas que saem pelos furos:
. - Número de furos:
furos idênticos e dispostos de forma que pares diametralmente opostos estão a dos outros (peguei essa disposição na imagem). - O fluido escoa através dos furos na direção normal à parede do cano (isto é, radialmente para fora).
- Condições na entrada do cano:
- pressão absoluta
, - massa específica
, - velocidade axial
.
- pressão absoluta
- Condições na saída do cano (extremo axial):
- pressão absoluta
, - massa específica
.
- pressão absoluta
- O enunciado pede apenas a força resultante radial (módulo) — quer-se um número em
.
Passo 2
Definir claramente o controle de volume e o balanço de quantidade de movimento que vamos usar:
- Escolho um volume de controle que envolve o fluido dentro do trecho do cano onde estão os quatro furos, incluindo as faces de entrada e saída axiais e a superfície lateral com os furos.
- Vamos aplicar o princípio da quantidade de movimento (segunda lei de Newton para volume de controle, forma integral) na direção radial. A forma vetorial simplificada, em regime permanente, pode ser escrita como:
onde
é a soma das forças externas exercidas sobre o fluido (no nosso caso forças de pressão sobre as superfícies do CV e forças de reação do suporte do cano),
são vazões mássicas e
são velocidades (vetores). Vou aplicar esta equação separando as componentes radiais (por exemplo componentes
e
no plano transversal).
Passo 3
Dividir as contribuições de massa e velocidade:
- A massa que sai pelos furos é
. Como os furos são idênticos e simetricamente dispostos, cada furo tem vazão mássica
- A velocidade com que o fluido sai por cada furo no sentido radial (chamo de
) não é fornecida numericamente. Vou representá-la pelo módulo e direção radial correspondente ao ângulo do furo. Importante: não precisamos do valor numérico de para concluir sobre a soma vetorial, porque a simetria trará cancelamentos.
Passo 4
Analisar as componentes de quantidade de movimento radial saindo pelos furos:
- Coloco um sistema de eixos transversais
. Seja o primeiro par de furos apontando nas direções e (eixo ), e o segundo par em e (eixo ) — essa disposição foi confirmada na imagem. - Para o par de furos opostos no eixo
: as contribuições de quantidade de movimento na componente são
Somando as duas dá zero. O mesmo raciocínio vale para o par no eixo
: as contribuições
e
se cancelam.
- A entrada e a saída axial têm velocidades predominantemente axiais, logo suas componentes radiais de velocidade são nulas (
e no sentido radial). Portanto não trazem contribuição de quantidade de movimento na direção radial. - Conclusão desta etapa (apenas sobre termos de escoamento): a soma vetorial das vazões mássicas vezes velocidades na direção radial (fluxo de quantidade de movimento radial) é nula por cancelamento entre furos opostos, independentemente do valor de
.
Passo 5
Analisar as forças de pressão que atuam radialmente sobre a superfície do cano:
- As pressões dadas
e são pressões axiais nas faces de entrada/saída; essas pressões exercem forças predominantemente axiais sobre o fluido e, portanto, não contribuem com componente radial resultante. - A pressão sobre a superfície lateral do cilindro (em torno da circunferência) gera um elemento de força radial local
com direção normal radial. A força radial resultante da pressão lateral é a integral ao longo da circunferência das componentes e . - Pela simetria geométrica e de escoamento (quatro furos simétricos), a distribuição de pressão ao redor da circunferência é tal que as integrais das componentes
e sobre a se anulam:
Isto significa que a força resultante devida à pressão lateral, tomada na direção radial, é nula pelo equilíbrio simétrico das pressões ao redor da circunferência.
Passo 6
Juntando as duas peças (fluxo de quantidade de movimento radial e forças de pressão radiais):
- A contribuição das vazões que saem pelos furos para a quantidade de movimento radial total é vetorialmente nula (passo 4).
- A força de pressão lateral resultante na direção radial também é nula devido à simetria (passo 5).
- Não há outras forças externas com componente radial que não tenham sido consideradas. Portanto, a soma vetorial das forças radiais aplicadas pelo fluido sobre o cano é nula.
Resposta
0 kN (alternativa a)