Com base nas informações do texto abaixo responda as questões
Um engenheiro deve realizar a fixação de um cano que escoa um fluido. O cano utilizado contém a seção reta constante e área igual a 0,20 \mathrm{~m}^{2}. O escoamento é em regime permanente. O cano tem 4 perfurações idênticas, diametralmente opostas, sendo que a reta que liga o centro de duas delas é perpendicular à reta que liga as outras duas. O somatório das vazões nos furos é igual a 40 \mathrm{~kg} / ". O escoamento é em regime permanente. O cano tem 4 perfurações idênticas, diametralmente opostas, sendo que a reta que liga o centro de duas delas é perpendicular à reta que liga as outras duas. O somatório das vazões nos furos é igual aéçõêéàóõé40 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e o fluido escoa através dos furos na direção normal à parede do cano. Na entrada do cano, a pressão absoluta é de 621,775 kPa , a massa específica do fluido é deéçãàãéíé7 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e a velocidade é igual aé150 \mathrm{~m} / \mathrm{s} . Na saída, lo cano, a pressão cai paraíã423,650 \mathrm{kPa} e a massa específica é deíé4 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$.
O módulo da força resultante, em
\mathbf{k N}, na direção radial do fluido sobre o cano é: ( 1,5 pontos).
a) 0
b) 15
c) 25
d) 35

Passo 1

O enunciado pede o módulo da força resultante, em \mathrm{kN}, na direção radial do fluido sobre o cano. Dados fornecidos (peguei alguns itens diretamente do enunciado e confirmei a disposição dos furos na imagem):
  • Área da seção reta do cano: A=0{,}20\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Regime permanente.
  • Somatório das vazões mássicas que saem pelos furos: \dot m_{\text{furos}}=40\\ \mathrm{kg/s}.
  • Número de furos: 4 furos idênticos e dispostos de forma que pares diametralmente opostos estão a 90^\circ dos outros (peguei essa disposição na imagem).
  • O fluido escoa através dos furos na direção normal à parede do cano (isto é, radialmente para fora).
  • Condições na entrada do cano:
    • pressão absoluta p_1=621{,}775\\ \mathrm{kPa},
    • massa específica \rho_1=7\\ \mathrm{kg/m^{3}},
    • velocidade axial v_1=150\\ \mathrm{m/s}.
  • Condições na saída do cano (extremo axial):
    • pressão absoluta p_2=423{,}650\\ \mathrm{kPa},
    • massa específica \rho_2=4\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • O enunciado pede apenas a força resultante radial (módulo) — quer-se um número em \mathrm{kN}.

Passo 2

Definir claramente o controle de volume e o balanço de quantidade de movimento que vamos usar:
  • Escolho um volume de controle que envolve o fluido dentro do trecho do cano onde estão os quatro furos, incluindo as faces de entrada e saída axiais e a superfície lateral com os furos.
  • Vamos aplicar o princípio da quantidade de movimento (segunda lei de Newton para volume de controle, forma integral) na direção radial. A forma vetorial simplificada, em regime permanente, pode ser escrita como:
\sum \mathbf{F} = \sum_{\text{escoamentos}} \dot m\,\mathbf{v}_{\text{out}} - \sum_{\text{escoamentos}} \dot m\,\mathbf{v}_{\text{in}},
onde \sum \mathbf{F} é a soma das forças externas exercidas sobre o fluido (no nosso caso forças de pressão sobre as superfícies do CV e forças de reação do suporte do cano), \dot m são vazões mássicas e \mathbf{v} são velocidades (vetores). Vou aplicar esta equação separando as componentes radiais (por exemplo componentes x e y no plano transversal).

Passo 3

Dividir as contribuições de massa e velocidade:
  • A massa que sai pelos furos é \dot m_{\text{furos}}=40\\ \mathrm{kg/s}. Como os furos são idênticos e simetricamente dispostos, cada furo tem vazão mássica
\dot m_{\text{furo}}=\dfrac{\dot m_{\text{furos}}}{4}=\dfrac{40}{4}=10\\ \mathrm{kg/s}.
  • A velocidade com que o fluido sai por cada furo no sentido radial (chamo de \mathbf{v}_h) não é fornecida numericamente. Vou representá-la pelo módulo v_h e direção radial correspondente ao ângulo \theta do furo. Importante: não precisamos do valor numérico de v_h para concluir sobre a soma vetorial, porque a simetria trará cancelamentos.

Passo 4

Analisar as componentes de quantidade de movimento radial saindo pelos furos:
  • Coloco um sistema de eixos transversais x,y. Seja o primeiro par de furos apontando nas direções \theta=0^\circ e \theta=180^\circ (eixo x), e o segundo par em \theta=90^\circ e \theta=270^\circ (eixo y) — essa disposição foi confirmada na imagem.
  • Para o par de furos opostos no eixo x: as contribuições de quantidade de movimento na componente x são
\dot m_{\text{furo}}\,v_h\quad\text{(furo em }0^\circ)\quad\text{e}\quad -\dot m_{\text{furo}}\,v_h\quad\text{(furo em }180^\circ).
Somando as duas dá zero. O mesmo raciocínio vale para o par no eixo y: as contribuições +\dot m_{\text{furo}}\,v_h e -\dot m_{\text{furo}}\,v_h se cancelam.
  • A entrada e a saída axial têm velocidades predominantemente axiais, logo suas componentes radiais de velocidade são nulas ( v_{r,\text{in}}=0 e v_{r,\text{out}}\approx 0 no sentido radial). Portanto não trazem contribuição de quantidade de movimento na direção radial.
  • Conclusão desta etapa (apenas sobre termos de escoamento): a soma vetorial das vazões mássicas vezes velocidades na direção radial (fluxo de quantidade de movimento radial) é nula por cancelamento entre furos opostos, independentemente do valor de v_h.

Passo 5

Analisar as forças de pressão que atuam radialmente sobre a superfície do cano:
  • As pressões dadas p_1 e p_2 são pressões axiais nas faces de entrada/saída; essas pressões exercem forças predominantemente axiais sobre o fluido e, portanto, não contribuem com componente radial resultante.
  • A pressão sobre a superfície lateral do cilindro (em torno da circunferência) gera um elemento de força radial local p(\theta)\,\mathrm{d}A com direção normal radial. A força radial resultante da pressão lateral é a integral ao longo da circunferência das componentes p(\theta)\cos\theta e p(\theta)\sin\theta.
  • Pela simetria geométrica e de escoamento (quatro furos simétricos), a distribuição de pressão ao redor da circunferência é tal que as integrais das componentes \cos\theta e \sin\theta sobre 0 a 2\pi se anulam:
\int_0^{2\pi} p(\theta)\cos\theta\,\mathrm{d}\theta = 0,\qquad \int_0^{2\pi} p(\theta)\sin\theta\,\mathrm{d}\theta = 0.
Isto significa que a força resultante devida à pressão lateral, tomada na direção radial, é nula pelo equilíbrio simétrico das pressões ao redor da circunferência.

Passo 6

Juntando as duas peças (fluxo de quantidade de movimento radial e forças de pressão radiais):
  • A contribuição das vazões que saem pelos furos para a quantidade de movimento radial total é vetorialmente nula (passo 4).
  • A força de pressão lateral resultante na direção radial também é nula devido à simetria (passo 5).
  • Não há outras forças externas com componente radial que não tenham sido consideradas. Portanto, a soma vetorial das forças radiais aplicadas pelo fluido sobre o cano é nula.

Resposta

0 kN (alternativa a)

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