Um trocador de calor deve ser construído para resfriar 25000 \mathrm{Kg} / \mathrm{h} de álcool ( c_{\mathrm{p}}=0,91 \mathrm{Kcal} / \mathrm{Kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ) de 65{ }^{\circ} \mathrm{C} para 40{ }^{\circ} \mathrm{C}, utilizando 30000 \mathrm{Kg} / \mathrm{h} de água ( \mathrm{c}_{\mathrm{p}}=1 \mathrm{Kcal} / \mathrm{Kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ) que está disponível a 15^{\circ} \mathrm{C}. Admitindo coeficiente global (sujo) de transferência de calor de 490 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}, determinar: (a) O comprimento do trocador tipo duplo tubo necessário, considerando que o diâmetro externo do tubo interno é 100 mm e (b) O número de tubos ( \varnothing_{\mathrm{e}} =25 \mathrm{~mm} ) necessários para um trocador multitubular tipo TC-1.2 com 7 m de comprimento.
(Figura 3)

Passo 1

Listando claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Vazão mássica do álcool: \dot{m}_{h}=25000\\ \mathrm{kg/h}.
  • Calor específico do álcool: c_{p,h}=0{,}91\\ \mathrm{kcal/(kg\cdot^\circ C)}.
  • Temperatura do álcool (fluido quente) de entrada e saída: T_{h,i}=65^\circ\mathrm{C} e T_{h,o}=40^\circ\mathrm{C}.
  • Vazão mássica da água: \dot{m}_{c}=30000\\ \mathrm{kg/h}.
  • Calor específico da água: c_{p,c}=1{,}0\\ \mathrm{kcal/(kg\cdot^\circ C)}.
  • Temperatura da água (fluido frio) de entrada: T_{c,i}=15^\circ\mathrm{C}. (Saída será determinada por balanço de energia.)
  • Coeficiente global sujo: U=490\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m^{2}\cdot^\circ C)}.
  • (a) Quer-se o comprimento total necessário para um trocador do tipo duplo-tubo, sabendo que o diâmetro externo do tubo interno é D_{int,ext}=100\\ \mathrm{mm}=0{,}100\\ \mathrm{m}.
  • (b) Quer-se o número de tubos para um trocador multitubular tipo TC-1.2 com tubos de diâmetro externo D_{t,ext}=25\\ \mathrm{mm}=0{,}025\\ \mathrm{m} e comprimento de cada tubo L_{t}=7\\ \mathrm{m}.
O que vamos calcular (resumo):
  1. Dever de calor Q transferido.
  2. Temperatura de saída da água T_{c,o} pelo balanço de energia.
  3. Log mean temperature difference (LMTD) assumindo escoamento contra-corrente.
  4. Área de troca A necessária usando Q=U A \,\mathrm{LMTD}.
  5. (a) comprimento necessário no duplo-tubo usando A=\pi D_{int,ext} \, L_{tot}.
  6. (b) número de tubos com área por tubo A_{t}=\pi D_{t,ext} L_{t} e arredondamento.

Passo 2

Calcular o dever de calor Q liberado pelo álcool (fluido quente). Fórmula e significado:
Q=\dot{m}_{h}\,c_{p,h}\,(T_{h,i}-T_{h,o}),
onde Q está em \mathrm{kcal/h}, \dot{m}_{h} em \mathrm{kg/h}, c_{p,h} em \mathrm{kcal/(kg\cdot^\circ C)} e temperaturas em ^\circ\mathrm{C}.
Substituindo os valores:
Q = 25000 \times 0{,}91 \times (65-40).
Calcular passo a passo:
25000\times 0{,}91 = 22750,
65-40 = 25,
Q = 22750\times 25 = 568750\\ \mathrm{kcal/h}.
Interpretação: esse é o calor que deve ser removido do álcool e, em regime estacionário, será absorvido pela água.

Passo 3

Determinar a temperatura de saída da água T_{c,o} pelo balanço de energia, assumindo que toda a energia do álcool vai para a água (sem perdas externas):
\dot{m}_{c}\,c_{p,c}\,(T_{c,o}-T_{c,i}) = Q.
Isolando T_{c,o}:
T_{c,o} = \frac{Q}{\dot{m}_{c}\,c_{p,c}} + T_{c,i}.
Substituindo:
T_{c,o} = \frac{568750}{30000\times 1{,}0} + 15.
Calcular:
\frac{568750}{30000} = 18{,}958333\ldots
T_{c,o} \approx 18{,}9583 + 15 = 33{,}9583^\circ\mathrm{C}.
Arredondando razoavelmente: T_{c,o}\approx 33{,}96^\circ\mathrm{C}.
Comentário: T_{c,o} fica abaixo de T_{h,i}=65^\circ\mathrm{C} e acima de T_{h,o}=40^\circ\mathrm{C}, o que é fisicamente consistente e permite usar configuração contra-corrente.

Passo 4

Escolha do arranjo térmico e cálculo das diferenças de temperatura em cada extremidade.
Motivo da escolha: para obter a máxima diferença média de temperatura e portanto menor área, usualmente assume-se escoamento contra-corrente em trocadores de calor de duplo-tubo (é o arranjo mais eficiente). Adotarei, portanto, contra-corrente.
Definir as diferenças térmicas nas extremidades:
\Delta T_1 = T_{h,i} - T_{c,o} \quad\text{(diferença em uma extremidade)},ç
\Delta T_2 = T_{h,o} - T_{c,i} \quad\text{(diferença na outra extremidade)}.ç
Substituindo números:
\Delta T_1 = 65 - 33{,}9583 = 31{,}0417^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = 40 - 15 = 25{,}0^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Explicar o LMTD e calculá-lo.
O LMTD (log mean temperature difference) para arranjo contra-corrente é dado por
\mathrm{LMTD} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}.
Isto é a média logarítmica das duas diferenças de temperatura nas extremidades, adequada quando a diferença varia ao longo do comprimento.
Substituindo os valores calculados:
\mathrm{LMTD} = \frac{31{,}0417 - 25{,}0}{\ln\!\left(\dfrac{31{,}0417}{25{,}0}\right)} = \frac{6{,}0417}{\ln(1{,}2416668)}.
Calcular:
\ln(1{,}2416668)\approx 0{,}2161
(aproximação numérica),
\mathrm{LMTD} \approx \frac{6{,}0417}{0{,}2161}\approx 27{,}97^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Calcular a área de troca térmica necessária A usando a relação fundamental:
Q = U \, A \, \mathrm{LMTD},
onde U é o coeficiente global (já dado). Isolando A:
A = \frac{Q}{U\,\mathrm{LMTD}}.
Substituindo:
A = \frac{568750}{490 \times 27{,}97}.
Calcular o denominador:
490\times 27{,}97 \approx 13704{,}85.
Logo
A \approx \frac{568750}{13704{,}85}\approx 41{,}53\\ \mathrm{m^2}.
Interpretação: é a área de troca total necessária para atingir o dever de calor com o dado U e LMTD.

Passo 7

Parte (a) — comprimento do trocador tipo duplo-tubo.
Em um trocador de duplo-tubo a área de troca corresponde à área lateral externa do tubo interno (assumindo que esse é o elemento de troca). A área lateral por comprimento é
\frac{A}{L_{tot}} = \pi D_{int,ext},
portanto o comprimento total necessário é
L_{tot} = \frac{A}{\pi D_{int,ext}}.
Substituindo A=41{,}53\\ \mathrm{m^2} e D_{int,ext}=0{,}100\\ \mathrm{m}:
L_{tot} = \frac{41{,}53}{\pi\times 0{,}100} = \frac{41{,}53}{0{,}314159} \approx 132{,}3\\ \mathrm{m}.
Comentário prático: esse é o comprimento total do tubo interno necessário. Em projeto real costuma-se dividir em várias passagens/serpenteamentos; aqui a resposta é o comprimento equivalente contínuo.

Passo 8

Parte (b) — número de tubos para um trocador multitubular TC-1.2 com tubos de D_{t,ext}=0{,}025\\ \mathrm{m} e L_{t}=7\\ \mathrm{m}.
Área lateral de um tubo (área de troca por tubo):
A_{t} = \pi D_{t,ext} L_{t}.
Substituindo:
A_{t} = \pi \times 0{,}025 \times 7 = \pi \times 0{,}175 \approx 0{,}5498\\ \mathrm{m^2}.
Número de tubos necessário:
N = \frac{A}{A_{t}} = \frac{41{,}53}{0{,}5498}\approx 75{,}54.
Como não se pode ter fração de tubo, arredonda-se para cima para garantir área suficiente:
N = 76\\ \text{tubos}.
Observação: em projeto real há outros fatores (layout, espaço, fatores de correção por disposição dos tubos, perda de área útil, etc.), mas aqui usamos a aproximação geométrica direta pedida.

Resposta

(a) L_{tot}\approx 132{,}3\\ \mathrm{m}
(b) N=76\\ \text{tubos}

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