2.38 Para a coluna do Problema 2.37, determine a força centrada máxima que pode ser aplicada se a tensão normal admissível é de 160 MPa no aço e 18 MPa no concreto.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a força centrada máxima que pode ser aplicada na coluna do Problema 2.37 sabendo que a tensão normal admissível é de
no aço e de
no concreto.
Informações fornecidas pelo enunciado que você me deu: (aço) e
(concreto).
Informações que estão faltando e que são necessárias para um cálculo numérico: geometria da seção (ou seja, as áreas transversais) da parte de aço e da parte de concreto — vou chamar essas áreas de e
— e, se o enunciado não prescrever, os módulos de elasticidade
e
(ou então uma observação se podemos usar valores típicos). Também pode faltar se a carga é exclusivamente centrada (presumimos que sim) e se há compatibilidade de deformações (presumimos ligação perfeita aço–concreto). Sem esses dados numéricos não dá para fornecer um valor final numérico.
Informações fornecidas pelo enunciado que você me deu:
Informações que estão faltando e que são necessárias para um cálculo numérico: geometria da seção (ou seja, as áreas transversais) da parte de aço e da parte de concreto — vou chamar essas áreas de
Passo 2
Vamos definir as variáveis e a hipótese física básica (isto é essencial para saber como distribuir a carga entre aço e concreto):
Definições:
= força axial centrada aplicada (o que queremos achar),
= área do aço na seção transversal,
= área do concreto na seção transversal,
= módulo de elasticidade do aço,
= módulo de elasticidade do concreto,
= deformação axial comum (hipótese: ligação perfeita aço–concreto => mesma deformação axial),
= tensão no aço,
= tensão no concreto.
Definições:
Hipótese física importante (coluna carregada axialmente, sem flambagem nem excentricidade): a deformação axial é a mesma no aço e no concreto, logo as tensões são
A força total é a soma das forças nas partes:
Passo 3
Como a carga aumenta,
aumenta e as tensões crescem proporcionalmente. Cada material tem um limite de tensão admissível. Definimos as deformações máximas admissíveis separadamente:
A deformação máxima segura para o conjunto é a menor entre essas duas:
Portanto a carga máxima admissível é
Passo 4
É útil escrever duas formas equivalentes que permitem decidir facilmente qual material “domina” (ou seja, qual atinge seu limite primeiro):
Se o aço atingir seu limite primeiro (isto é, se
), então
e
Se o concreto atingir seu limite primeiro (isto é, se
), então
e
Operacionalmente, para resolver num problema de prova você faz:
- calcular
e ; - determinar qual é a menor;
- usar a fórmula correspondente acima para obter
.
Isto é direto e leva poucas contas — o “truque” é notar que, por terem módulos diferentes, as tensões não podem ser escolhidas independentemente: elas são ligadas pela compatibilidade de deformação.
Passo 5
O que é preciso do Problema 2.37 para aplicar as fórmulas acima:
-
(área total do aço na seção) em unidades compatíveis (por ex. ); -
(área do concreto) nas mesmas unidades; - os módulos
e (se o enunciado não der, usar valores típicos: por exemplo , entre e dependendo do concreto).
Com esses números você segue o algoritmo do Passo 4 e obtémem N (porque se as áreas estiverem em ).
Exemplo didático (apenas para mostrar as contas; use isto como receita): suponha por exemplo — só como ilustração —
,
,
,
. Então
a menor é
, logo o concreto chega primeiro. Usando a fórmula do concreto:
Isto mostra o procedimento completo — repito: os números acima são um exemplo ilustrativo, não o enunciado real.
Resposta
Não é possível determinar numericamente
sem os dados do Problema 2.37 (ao mínimo as áreas
e
e, se não dadas, os módulos
e
). Em termos das grandezas fornecidas, a força máxima admissível é
ou, de forma equivalente,