2.38 Para a coluna do Problema 2.37, determine a força centrada máxima que pode ser aplicada se a tensão normal admissível é de 160 MPa no aço e 18 MPa no concreto.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a força centrada máxima que pode ser aplicada na coluna do Problema 2.37 sabendo que a tensão normal admissível é de 160\\ \mathrm{MPa} no aço e de 18\\ \mathrm{MPa} no concreto.
Informações fornecidas pelo enunciado que você me deu: \sigma_{s,adm}=160\\ \mathrm{MPa} (aço) e \sigma_{c,adm}=18\\ \mathrm{MPa} (concreto).
Informações que estão faltando e que são necessárias para um cálculo numérico: geometria da seção (ou seja, as áreas transversais) da parte de aço e da parte de concreto — vou chamar essas áreas de A_s e A_c — e, se o enunciado não prescrever, os módulos de elasticidade E_s e E_c (ou então uma observação se podemos usar valores típicos). Também pode faltar se a carga é exclusivamente centrada (presumimos que sim) e se há compatibilidade de deformações (presumimos ligação perfeita aço–concreto). Sem esses dados numéricos não dá para fornecer um valor final numérico.

Passo 2

Vamos definir as variáveis e a hipótese física básica (isto é essencial para saber como distribuir a carga entre aço e concreto):
Definições:
\;P = força axial centrada aplicada (o que queremos achar),
\;A_s = área do aço na seção transversal,
\;A_c = área do concreto na seção transversal,
\;E_s = módulo de elasticidade do aço,
\;E_c = módulo de elasticidade do concreto,
\;\varepsilon = deformação axial comum (hipótese: ligação perfeita aço–concreto => mesma deformação axial),
\;\sigma_s = tensão no aço, \;\sigma_c = tensão no concreto.
Hipótese física importante (coluna carregada axialmente, sem flambagem nem excentricidade): a deformação axial é a mesma no aço e no concreto, logo as tensões são
\sigma_s = E_s\,\varepsilon,\qquad \sigma_c = E_c\,\varepsilon.
A força total é a soma das forças nas partes:
P = \sigma_s A_s + \sigma_c A_c = \varepsilon\,(E_s A_s + E_c A_c).

Passo 3

Como a carga aumenta, \varepsilon aumenta e as tensões crescem proporcionalmente. Cada material tem um limite de tensão admissível. Definimos as deformações máximas admissíveis separadamente:
\varepsilon_{s,\max}=\frac{\sigma_{s,adm}}{E_s},\qquad \varepsilon_{c,\max}=\frac{\sigma_{c,adm}}{E_c}.
A deformação máxima segura para o conjunto é a menor entre essas duas:
\varepsilon_{\max}=\min\big(\varepsilon_{s,\max},\,\varepsilon_{c,\max}\big).
Portanto a carga máxima admissível é
P_{\max}=\varepsilon_{\max}\,(E_s A_s + E_c A_c).

Passo 4

É útil escrever duas formas equivalentes que permitem decidir facilmente qual material “domina” (ou seja, qual atinge seu limite primeiro):
Se o aço atingir seu limite primeiro (isto é, se \varepsilon_{s,\max}\le\varepsilon_{c,\max}), então \varepsilon_{\max}=\varepsilon_{s,\max} e
P_{\max}=\sigma_{s,adm}\Big(A_s+\frac{E_c}{E_s}\,A_c\Big).
Se o concreto atingir seu limite primeiro (isto é, se \varepsilon_{c,\max}\le\varepsilon_{s,\max}), então \varepsilon_{\max}=\varepsilon_{c,\max} e
P_{\max}=\sigma_{c,adm}\Big(A_c+\frac{E_s}{E_c}\,A_s\Big).
Operacionalmente, para resolver num problema de prova você faz:
  1. calcular \varepsilon_{s,\max}=\dfrac{\sigma_{s,adm}}{E_s} e \varepsilon_{c,\max}=\dfrac{\sigma_{c,adm}}{E_c};
  2. determinar qual é a menor;
  3. usar a fórmula correspondente acima para obter P_{\max}.
    Isto é direto e leva poucas contas — o “truque” é notar que, por terem módulos diferentes, as tensões não podem ser escolhidas independentemente: elas são ligadas pela compatibilidade de deformação.

Passo 5

O que é preciso do Problema 2.37 para aplicar as fórmulas acima:
  • A_s (área total do aço na seção) em unidades compatíveis (por ex. \mathrm{mm}^2);
  • A_c (área do concreto) nas mesmas unidades;
  • os módulos E_s e E_c (se o enunciado não der, usar valores típicos: por exemplo E_s\approx 210000\\ \mathrm{MPa}, E_c entre 20000 e 30000\\ \mathrm{MPa} dependendo do concreto).
    Com esses números você segue o algoritmo do Passo 4 e obtém P_{\max} em N (porque 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N/mm}^2 se as áreas estiverem em \mathrm{mm}^2).
Exemplo didático (apenas para mostrar as contas; use isto como receita): suponha por exemplo — só como ilustração — E_s=210000\\ \mathrm{MPa}, E_c=25000\\ \mathrm{MPa}, A_s=400\\ \mathrm{mm}^2, A_c=100000\\ \mathrm{mm}^2. Então
\varepsilon_{s,\max}=\frac{160}{210000}\approx0{,}0007619,\qquad \varepsilon_{c,\max}=\frac{18}{25000}=0{,}00072,
a menor é \varepsilon_{c,\max}, logo o concreto chega primeiro. Usando a fórmula do concreto:
P_{\max}=18\bigg(100000+\frac{210000}{25000}\,400\bigg)=18\,(100000+3360)=18\cdot103360=1\,860\,480\\ \mathrm{N}\approx1860{,}5\\ \mathrm{kN}.
Isto mostra o procedimento completo — repito: os números acima são um exemplo ilustrativo, não o enunciado real.

Resposta

Não é possível determinar numericamente P_{\max} sem os dados do Problema 2.37 (ao mínimo as áreas A_s e A_c e, se não dadas, os módulos E_s e E_c). Em termos das grandezas fornecidas, a força máxima admissível é
P_{\max}=\min\!\left(\frac{\sigma_{s,adm}}{E_s},\frac{\sigma_{c,adm}}{E_c}\right)\!(E_s A_s+E_c A_c),
ou, de forma equivalente,
P_{\max}=\begin{cases} \sigma_{s,adm}\!\left(A_s+\dfrac{E_c}{E_s}A_c\right), & \text{se }\dfrac{\sigma_{s,adm}}{E_s}\le\dfrac{\sigma_{c,adm}}{E_c},\\[6pt] \sigma_{c,adm}\!\left(A_c+\dfrac{E_s}{E_c}A_s\right), & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

Exercícios relacionados