5^{\circ} ) Calcule a ÁREA entre as curvas f(x)=\operatorname{sen}(2 x) e g(x)=\cos (2 x) de 0 a 3 \pi.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área entre as curvas f(x)=\operatorname{sen}(2x) e g(x)=\cos(2x) no intervalo [0,3\pi].\n
Informações relevantes dadas:
A pergunta é: qual é a área entre essas duas curvas nesse intervalo?
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicando didaticamente). A área entre duas curvas f e g num intervalo [a,b] é dada por
\text{Área}=\int_{a}^{b}\big|f(x)-g(x)\big|\,dx.
Explicação: se f(x)\ge g(x) em toda parte, dá para tirar o valor absoluto e integrar f-g. Mas quando as curvas se cruzam precisamos do valor absoluto porque queremos a distância positiva entre as curvas em cada ponto. Aqui vamos calcular \int_{0}^{3\pi}|\operatorname{sen}(2x)-\cos(2x)|\,dx.
Passo 3
Encontrar os pontos de interseção (onde as curvas se cruzam), pois eles dividem o intervalo em pedaços onde a ordem entre f e g é constante.
Resolver \operatorname{sen}(2x)=\cos(2x). Isso é equivalente a
Por que isso vale? Em geral, para constantes A e B,
A\sin t + B\cos t = R\sin(t+\varphi),
onde R=\sqrt{A^2+B^2} e \varphi ajusta o desfasamento. Aqui A=1 e B=-1, então R=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2} e o deslocamento resulta em -\pi/4, dando a forma acima. Essa transformação é útil porque reduz a diferença das funções a uma única função seno (com amplitude \sqrt{2}).
Observação sobre o período e cálculo da integral de |\sin u|. A função |\sin u| tem período \pi (porque \sin(u+\pi)=-\sin u e o módulo anula o sinal). O comprimento do intervalo em u é
Verificação rápida por intuição: a transformação reduziu a diferença das curvas a uma senoide absoluta com amplitude \sqrt{2} e cobrimos um número inteiro de meias-ondas, por isso o cálculo ficou direto. O resultado é um número positivo e plausível.