5^{\circ} ) Calcule a ÁREA entre as curvas f(x)=\operatorname{sen}(2 x) e g(x)=\cos (2 x) de 0 a 3 \pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área entre as curvas f(x)=\operatorname{sen}(2x) e g(x)=\cos(2x) no intervalo [0,3\pi].\n
Informações relevantes dadas:
f(x)=\operatorname{sen}(2x),\qquad g(x)=\cos(2x),\qquad \text{intervalo }[0,3\pi].
A pergunta é: qual é a área entre essas duas curvas nesse intervalo?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando didaticamente). A área entre duas curvas f e g num intervalo [a,b] é dada por
\text{Área}=\int_{a}^{b}\big|f(x)-g(x)\big|\,dx.Á
Explicação: se f(x)\ge g(x) em toda parte, dá para tirar o valor absoluto e integrar f-g. Mas quando as curvas se cruzam precisamos do valor absoluto porque queremos a distância positiva entre as curvas em cada ponto. Aqui vamos calcular \int_{0}^{3\pi}|\operatorname{sen}(2x)-\cos(2x)|\,dx.

Passo 3

Encontrar os pontos de interseção (onde as curvas se cruzam), pois eles dividem o intervalo em pedaços onde a ordem entre f e g é constante.
Resolver \operatorname{sen}(2x)=\cos(2x). Isso é equivalente a
\tan(2x)=1.
As soluções gerais de \tan(2x)=1 são
2x=\frac{\pi}{4}+k\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Agora listamos as interseções que caem em [0,3\pi]. Tomando k=0,1,2,3,4,5 obtemos os pontos
x=\frac{\pi}{8},\\ \frac{5\pi}{8},\\ \frac{9\pi}{8},\\ \frac{13\pi}{8},\\ \frac{17\pi}{8},\\ \frac{21\pi}{8},
todos contidos em [0,3\pi] (para k=6 já excede 3\pi). Esses seis pontos dividem [0,3\pi] em sete subintervalos.

Passo 4

Simplificação trigonométrica que facilita a integral. Note a identidade (que eu vou explicar passo a passo):
\operatorname{sen}(2x)-\cos(2x)=\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!\left(2x-\frac{\pi}{4}\right).
Por que isso vale? Em geral, para constantes A e B,
A\sin t + B\cos t = R\sin(t+\varphi),
onde R=\sqrt{A^2+B^2} e \varphi ajusta o desfasamento. Aqui A=1 e B=-1, então R=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2} e o deslocamento resulta em -\pi/4, dando a forma acima. Essa transformação é útil porque reduz a diferença das funções a uma única função seno (com amplitude \sqrt{2}).
Assim a área vira
\text{Área}=\int_{0}^{3\pi}\big|\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)\big|\,dx =\sqrt{2}\int_{0}^{3\pi}\left|\operatorname{sen}\!\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)\right|\,dx.Á

Passo 5

Mudança de variável para simplificar a integral. Faça u=2x-\dfrac{\pi}{4}. Então du=2\,dx ou dx=\dfrac{du}{2}.
Calcule os limites em u:
\text{quando }x=0,\quad u=-\frac{\pi}{4}; \qquad \text{quando }x=3\pi,\quad u=2\cdot 3\pi-\frac{\pi}{4}=6\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{23\pi}{4}.
Substituindo na integral:
\text{Área}=\sqrt{2}\int_{u=-\frac{\pi}{4}}^{\frac{23\pi}{4}}\left|\operatorname{sen}u\right|\cdot\frac{du}{2} =\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{23\pi}{4}}\left|\operatorname{sen}u\right|\,du.Á

Passo 6

Observação sobre o período e cálculo da integral de |\sin u|. A função |\sin u| tem período \pi (porque \sin(u+\pi)=-\sin u e o módulo anula o sinal). O comprimento do intervalo em u é
\frac{23\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{24\pi}{4}=6\pi,
ou seja, justamente 6 períodos completos de |\sin u| (pois 6\pi dividido por \pi 6). Portanto podemos somar 6 vezes a integral em um período.
Agora calcule a integral de |\sin u| em um período típico, por exemplo de 0 a \pi:
\int_{0}^{\pi}\big|\sin u\big|\,du=\int_{0}^{\pi}\sin u\,du=\big[-\cos u\big]_{0}^{\pi}=(-\cos\pi)-(-\cos 0)=(-(-1))-(-1)=1+1=2.
Explicação: em [0,\pi] a função \sin u é não-negativa, então o módulo some nada e a integral é simplesmente \int_0^\pi \sin u\,du.

Passo 7

Juntando as informações: temos 6 períodos completos, cada um contribuindo com área 2 para \int|\sin u|\,du. Então
\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{23\pi}{4}}\big|\sin u\big|\,du = 6\cdot 2 = 12.
Logo a área original é
\text{Área}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 12 = 6\sqrt{2}.Á

Passo 8

Verificação rápida por intuição: a transformação reduziu a diferença das curvas a uma senoide absoluta com amplitude \sqrt{2} e cobrimos um número inteiro de meias-ondas, por isso o cálculo ficou direto. O resultado é um número positivo e plausível.

Resposta

6\sqrt{2}

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