4^{\circ} ) Calcule as integrais usando integração por partes. (Não usar integração tabular)
\int_{-3}^{1}|x+1| * e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-3}^{1} |x+1|\,e^{x}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{integrando: }|x+1|\,e^{x},\qquad\text{intervalo: }[-3,1].
Observação importante sobre |x+1|: a expressão x+1 muda de sinal em x=-1. Portanto |x+1| tem fórmulas diferentes em cada subintervalo:
|x+1| = \begin{cases} -(x+1), & x< -1,\\[4pt] x+1, & x\ge -1. \end{cases}]

Passo 2

Como a função absoluta muda em x=-1, separamos a integral em duas:
\int_{-3}^{1} |x+1|\,e^{x}\,dx = \int_{-3}^{-1} |x+1|\,e^{x}\,dx + \int_{-1}^{1} |x+1|\,e^{x}\,dx.
Substituindo as expressões de |x+1| em cada intervalo (peguei essa informação da observação do Passo 1),
\int_{-3}^{1} |x+1|\,e^{x}\,dx = \int_{-3}^{-1} -(x+1)\,e^{x}\,dx + \int_{-1}^{1} (x+1)\,e^{x}\,dx.

Passo 3

Agora precisamos calcular primitivas de (x+1)e^{x}. Vou usar a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Explicando bem o que é cada coisa: u é uma função que escolhemos de modo que sua derivada du fique simples; dv é a parte que integramos facilmente para obter v. Aqui é conveniente escolher
u = x+1,\qquad dv = e^{x}\,dx,
porque \dfrac{d}{dx}(x+1)=1 (simples) e \int e^{x}\,dx = e^{x} (também simples).

Passo 4

Aplicando integração por partes com u=x+1 e dv=e^{x}dx:
du = dx,\qquad v = e^{x}.
Logo
\int (x+1)\,e^{x}\,dx = (x+1)e^{x} - \int e^{x}\,dx.
Calculando a integral remanescente \int e^{x}\,dx = e^{x}, obtemos
\int (x+1)\,e^{x}\,dx = (x+1)e^{x} - e^{x} + C = x e^{x} + C.
Portanto uma primitiva de (x+1)e^{x} é x e^{x}. (Isto pode ser checado derivando: (x e^{x})' = e^{x} + x e^{x} = (x+1)e^{x}.)

Passo 5

Usamos a primitiva x e^{x} para avaliar as duas integrais definidas. Primeiro a do trecho [-1,1]:
\int_{-1}^{1} (x+1)\,e^{x}\,dx = \big[ x e^{x} \big]_{-1}^{1}.
Calcule as extremidades: em x=1 temos 1\cdot e^{1}=e; em x=-1 temos (-1)e^{-1}=-e^{-1}. Assim
\int_{-1}^{1} (x+1)\,e^{x}\,dx = e - (-e^{-1}) = e + e^{-1}.

Passo 6

Agora a integral em [-3,-1]:
\int_{-3}^{-1} -(x+1)\,e^{x}\,dx = -\int_{-3}^{-1} (x+1)\,e^{x}\,dx = -\big[ x e^{x} \big]_{-3}^{-1}.
Calcule \big[ x e^{x} \big]_{-3}^{-1}: em x=-1 vale (-1)e^{-1}=-e^{-1}; em x=-3 vale (-3)e^{-3}=-3e^{-3}. Então
\big[ x e^{x} \big]_{-3}^{-1} = -e^{-1} - (-3e^{-3}) = -e^{-1} + 3e^{-3}.
Multiplicando por -1,
\int_{-3}^{-1} -(x+1)\,e^{x}\,dx = -\big(-e^{-1} + 3e^{-3}\big) = e^{-1} - 3e^{-3}.

Passo 7

Somamos as duas partes (peguei cada resultado dos Passos 5 e 6):
\int_{-3}^{1} |x+1|\,e^{x}\,dx = \big(e^{-1} - 3e^{-3}\big) + \big(e + e^{-1}\big).
Agrupando termos semelhantes:
\int_{-3}^{1} |x+1|\,e^{x}\,dx = e + 2e^{-1} - 3e^{-3}.

Resposta

e + 2e^{-1} - 3e^{-3}

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