) Calcule as integrais usando integração por partes. (Não usar integração tabular)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Observação importante sobre
: a expressão
muda de sinal em
. Portanto
tem fórmulas diferentes em cada subintervalo:
Passo 2
Como a função absoluta muda em
, separamos a integral em duas:
Substituindo as expressões de
em cada intervalo (peguei essa informação da observação do Passo 1),
Passo 3
Agora precisamos calcular primitivas de
. Vou usar a fórmula de integração por partes:
Explicando bem o que é cada coisa:
é uma função que escolhemos de modo que sua derivada
fique simples;
é a parte que integramos facilmente para obter
. Aqui é conveniente escolher
porque
(simples) e
(também simples).
Passo 4
Aplicando integração por partes com
e
:
Logo
Calculando a integral remanescente
, obtemos
Portanto uma primitiva de
é
. (Isto pode ser checado derivando:
.)
Passo 5
Usamos a primitiva
para avaliar as duas integrais definidas. Primeiro a do trecho
:
Calcule as extremidades: em
temos
; em
temos
. Assim
Passo 6
Agora a integral em
:
Calcule
: em
vale
; em
vale
. Então
Multiplicando por
,
Passo 7
Somamos as duas partes (peguei cada resultado dos Passos 5 e 6):
Agrupando termos semelhantes: