(Ulaby, ex 7-14, pag226) Ao longo de qual faixa de frequência o solo seco ( \varepsilon_{r}=3, \mu_{r}=1 e \sigma=10^{-4} \mathrm{~S} / \mathrm{m} ), pode ser considerado um dielétrico de baixa perda?
Considerar \varepsilon_{0}=8.85 \times 10^{-12} \mathrm{~F} / \mathrm{m}
Solução:
Para dielétricos, temos a condição: \frac{\sigma}{\omega \varepsilon} \ll 1 \Rightarrow \frac{\sigma}{\omega \varepsilon}<0.01 \quad f>\frac{100 \sigma}{2 \pi \varepsilon} ou
Dai:
f>\frac{100 \times 10^{-4} \frac{1}{\Omega m}}{2 \pi 3 \times 8.85 \times 10^{-12} \frac{\mathrm{~F}}{\mathrm{~m}}}=60 \times 10^{6} \frac{1}{\Omega m} \frac{\mathrm{Vm}}{\mathrm{C}}
Logo, o solo é um dielétrico para \mathrm{f}>60 \mathrm{MHz}.

Passo 1

O enunciado fornece um meio (solo seco) com constantes elétricas relativas \varepsilon_{r}=3, \mu_{r}=1 e condutividade \sigma=10^{-4}\,\mathrm{S/m}, e pede em que faixa de frequência esse meio pode ser tratado como um dielétrico de baixa perda. O conteúdo usado será a comparação entre corrente de condução e corrente de deslocamento em um meio material.

Passo 2

Em um dielétrico de baixa perda a corrente de condução é muito menor que a corrente de deslocamento. Isso se traduz na condição
\frac{\sigma}{\omega \varepsilon} \;\ll\; 1,
onde \omega=2\pi f e \varepsilon=\varepsilon_{r}\,\varepsilon_{0}. Para quantificar “muito menor” adotamos
\frac{\sigma}{\omega \varepsilon} < 0{,}01.

Passo 3

Reescrevendo a desigualdade em termos de f:
\frac{\sigma}{2\pi f\,\varepsilon_{r}\,\varepsilon_{0}} < 0{,}01 \quad\Longrightarrow\quad f > \frac{\sigma}{0{,}01 \times 2\pi\,\varepsilon_{r}\,\varepsilon_{0}} = \frac{100\,\sigma}{2\pi\,\varepsilon_{r}\,\varepsilon_{0}}.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos:
\sigma=10^{-4}\,\mathrm{S/m}, \varepsilon_{r}=3 e \varepsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}.
f > \frac{100 \times 10^{-4}}{2\pi \times 3 \times 8{,}85\times10^{-12}} \approx 6{,}0\times10^{7}\,\mathrm{Hz}.

Resposta

O solo seco pode ser considerado um dielétrico de baixa perda para
f > 60\,\mathrm{MHz}.

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