3.38 Dada a amostra de 60 rendas (em milhares) de dada regiāo geográfica:
10
7
8
5
4
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2
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a) Agrupar os elementos em classes, sendo
e
.
b) Construir o histograma.
c) Calcular a média a partir do Rol dos dados.
d) Calcular e interpretar a mediana a partir do Rol dos dados.
e) Determinar e interpretar
quartil a partir do Rol dos dados.
f) Calcular e interpretar o
decil a partir do Rol dos dados.
g) Calcular e interpretar o
percentil a partir do Rol dos dados.
h) Determinar a medida que deixa
das rendas a partir do Rol dos dados.
i) Determinar a variância a partir do Rol dos dados.
j) Determinar o desvio-padrão a partir do Rol dos dados.
k) Qual é o valor do coeficiente da variação?
l) A distribuição é simétrica?
m) Constatar as regras para interpretação do des-vio-padrão.
10 | 7 | 8 | 5 | 4 | 3 | 2 | 9 | 9 | 6 |
3 | 15 | 1 | 13 | 14 | 4 | 3 | 6 | 6 | 8 |
10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 2 | 15 | 5 | 4 | 10 |
2 | 1 | 3 | 8 | 10 | 11 | 13 | 14 | 15 | 16 |
8 | 9 | 5 | 3 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 |
5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 1 | 12 | 13 | 14 | 16 |
b) Construir o histograma.
c) Calcular a média a partir do Rol dos dados.
d) Calcular e interpretar a mediana a partir do Rol dos dados.
e) Determinar e interpretar
f) Calcular e interpretar o
g) Calcular e interpretar o
h) Determinar a medida que deixa
i) Determinar a variância a partir do Rol dos dados.
j) Determinar o desvio-padrão a partir do Rol dos dados.
k) Qual é o valor do coeficiente da variação?
l) A distribuição é simétrica?
m) Constatar as regras para interpretação do des-vio-padrão.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular: temos uma amostra de 60 rendas (em milhares de reais) de uma região, e a tarefa é fazer Estatística Descritiva completa: agrupar em classes, montar histograma, calcular média, mediana, quartis, decis, percentis, variância, desvio‐padrão, coeficiente de variação, ver simetria e “constatar as regras” do desvio‐padrão. Para isso vamos precisar ordenar os dados (o Rol), conhecer fórmula de média, mediana e posições de percentis, e usar as fórmulas de variância e desvio‐padrão.
Passo 2
a) Agrupar os 60 valores em
classes de amplitude
.
– Primeiro: mínimo = 1, máximo = 16, então a amplitude total . Como
, serve.
– Escolhemos intervalos começando em 1 de largura 3:
– Primeiro: mínimo = 1, máximo = 16, então a amplitude total
– Escolhemos intervalos começando em 1 de largura 3:
– Contando quantos valores caem em cada intervalo (usando o Rol ou tabela de frequências):
Passo 3
b) Histograma
É só desenhar barras com base em cada classe e altura igual a . Exemplo (em palavras):
– Barra de com altura 14,
– de altura 14,
– … até altura 2.
É só desenhar barras com base em cada classe e altura igual a
– Barra de
– de
– … até
Passo 4
c) Média a partir do Rol
A média aritmética é
A média aritmética é
Como somamos cada valor vezes sua frequência e achamos
Passo 5
d) Mediana a partir do Rol
Mediana é o valor central: posição . No rol, o 30º valor é 7 e o 31º é 8, então
Mediana é o valor central: posição
Passo 6
e) 3º quartil (
)
Posição . O 45º valor é 11, o 46º é 12, logo
Posição
Passo 7
f) 4º decil (
)
Décil 4 = 40º percentil. Posição . O 24º é 5, o 25º é 6, então
Décil 4 = 40º percentil. Posição
Passo 8
g) 47º percentil (
)
Posição . O 28º valor é 6, o 29º é 7, assim
Posição
Passo 9
h) Medida que deixa 25 % abaixo (ou seja,
)
Posição . O 15º valor é 3, o 16º é 4, logo
Posição
Passo 10
i) Variância a partir do Rol
Fórmula (populacional):
Fórmula (populacional):
Como
Passo 11
j) Desvio‐padrão
Passo 12
k) Coeficiente de variação
Passo 13
l) Simetria da distribuição
Como , há leve assimetria à direita (distribuição levemente positiva), não é perfeitamente simétrica.
Como
Passo 14
m) Regras de interpretação do desvio‐padrão
– “Regra empírica” (para distribuição aproximadamente normal): cerca de 68 % dos valores caem em , 95 % em
, 99,7 % em
.
– No nosso caso, em temos 55 % dos dados (menor que 68 %), e em
cerca de 100 % (acima de 95 %), mostrando que não segue perfeitamente a curva normal, mas satisfaz a desigualdade de Chebyshev (ao menos 75 % em
).
– “Regra empírica” (para distribuição aproximadamente normal): cerca de 68 % dos valores caem em
– No nosso caso, em
Resposta
a) Classes
com
.
b) Histograma: barras de alturas 14,14,11,8,11,2.
c) .
d) Mediana = .
e) .
f) .
g) .
h) .
i) .
j) .
k) .
l) Distribuição levemente assimétrica à direita.
m) Empirical rule: 55 % dos dados em (<68 %), ~100 % em
(>95 %), conforme Chebyshev.
b) Histograma: barras de alturas 14,14,11,8,11,2.
c)
d) Mediana =
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l) Distribuição levemente assimétrica à direita.
m) Empirical rule: 55 % dos dados em