3.38 Dada a amostra de 60 rendas (em milhares) de dada regiāo geográfica:
10 7 8 5 4 3 2 9 9 6
3 15 1 13 14 4 3 6 6 8
10 11 12 13 14 2 15 5 4 10
2 1 3 8 10 11 13 14 15 16
8 9 5 3 2 3 3 4 4 4
5 6 7 8 9 1 12 13 14 16
a) Agrupar os elementos em classes, sendo rrrrrrrrrr 10 & 7 & 8 & 5 & 4 & 3 & 2 & 9 & 9 & 6 3 & 15 & 1 & 13 & 14 & 4 & 3 & 6 & 6 & 8 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 2 & 15 & 5 & 4 & 10 2 & 1 & 3 & 8 & 10 & 11 & 13 & 14 & 15 & 16 8 & 9 & 5 & 3 & 2 & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 1 & 12 & 13 & 14 & 16 e K=6.
b) Construir o histograma.
c) Calcular a média a partir do Rol dos dados.
d) Calcular e interpretar a mediana a partir do Rol dos dados.
e) Determinar e interpretar h=3 quartil a partir do Rol dos dados.
f) Calcular e interpretar o 03^circ decil a partir do Rol dos dados.
g) Calcular e interpretar o 4^circ percentil a partir do Rol dos dados.
h) Determinar a medida que deixa 47^circ das rendas a partir do Rol dos dados.
i) Determinar a variância a partir do Rol dos dados.
j) Determinar o desvio-padrão a partir do Rol dos dados.
k) Qual é o valor do coeficiente da variação?
l) A distribuição é simétrica?
m) Constatar as regras para interpretação do des-vio-padrão.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular: temos uma amostra de 60 rendas (em milhares de reais) de uma região, e a tarefa é fazer Estatística Descritiva completa: agrupar em classes, montar histograma, calcular média, mediana, quartis, decis, percentis, variância, desvio‐padrão, coeficiente de variação, ver simetria e “constatar as regras” do desvio‐padrão. Para isso vamos precisar ordenar os dados (o Rol), conhecer fórmula de média, mediana e posições de percentis, e usar as fórmulas de variância e desvio‐padrão.

Passo 2

a) Agrupar os 60 valores em K=6 classes de amplitude h=3.
– Primeiro: mínimo = 1, máximo = 16, então a amplitude total A = 16-1 =15. Como K,h =6cdot3=18 >=15, serve.
– Escolhemos intervalos começando em 1 de largura 3:
[1,4), [4,7), [7,10), [10,13), [13,16), [16,19)
– Contando quantos valores caem em cada intervalo (usando o Rol ou tabela de frequências):
f1=14, f2=14, f3=11, f4=8, f5=11, f6=2

Passo 3

b) Histograma
É só desenhar barras com base em cada classe e altura igual a fi. Exemplo (em palavras):
– Barra de 1<= x<4 com altura 14,
– de 4<= x<7 altura 14,
– … até 16<= x<19 altura 2.

Passo 4

c) Média a partir do Rol
A média aritmética é
bar x = 1nsumi=1^n xi
Como somamos cada valor vezes sua frequência e achamos sum xi=461, temos
bar x = 46160approx 7,6833 (milhares)

Passo 5

d) Mediana a partir do Rol
Mediana é o valor central: posição (n+1)/2 =61/2=30,5. No rol, o 30º valor é 7 e o 31º é 8, então
Mediana = 7+82=7,5 (mil)

Passo 6

e) 3º quartil ( Q3)
Posição =(n+1)cdot3/4 =61cdot0,75=45,75. O 45º valor é 11, o 46º é 12, logo
Q3 = 11+122 = 11,5

Passo 7

f) 4º decil ( D4)
Décil 4 = 40º percentil. Posição =61cdot0,4=24,4. O 24º é 5, o 25º é 6, então
D4 = 5+62=5,5

Passo 8

g) 47º percentil ( P47)
Posição =61cdot0,47=28,67. O 28º valor é 6, o 29º é 7, assim
P47 = 6+72=6,5

Passo 9

h) Medida que deixa 25 % abaixo (ou seja, P25=Q1)
Posição =61cdot0,25=15,25. O 15º valor é 3, o 16º é 4, logo
Q1 = 3+42=3,5

Passo 10

i) Variância a partir do Rol
Fórmula (populacional):
sigma^2 = 1nsum xi^2 - bar x^2
Como sum xi^2 =4741 e bar x=461/60,
sigma^2 = 474160 - l(46160r)^2 approx 19,983

Passo 11

j) Desvio‐padrão
sigma = raizsigma^2approx raiz19,983approx 4,472 (milhares)

Passo 12

k) Coeficiente de variação
CV = sigmabar xtimes100% approx 4,4727,683times100%approx 58,2%

Passo 13

l) Simetria da distribuição
Como bar xapprox7,683 > Mediana=7,5, há leve assimetria à direita (distribuição levemente positiva), não é perfeitamente simétrica.

Passo 14

m) Regras de interpretação do desvio‐padrão
– “Regra empírica” (para distribuição aproximadamente normal): cerca de 68 % dos valores caem em bar xpm1sigma, 95 % em bar xpm2sigma, 99,7 % em bar xpm3sigma.
– No nosso caso, em bar xpm1sigma = [7,683pm4,472] = [3,211;,12,155] temos 55 % dos dados (menor que 68 %), e em bar xpm2sigma cerca de 100 % (acima de 95 %), mostrando que não segue perfeitamente a curva normal, mas satisfaz a desigualdade de Chebyshev (ao menos 75 % em bar xpm2sigma).

Resposta

a) Classes [1,4),[4,7),[7,10),[10,13),[13,16),[16,19) com f=(14,14,11,8,11,2).
b) Histograma: barras de alturas 14,14,11,8,11,2.
c) bar xapprox7,683.
d) Mediana = 7,5.
e) Q3=11,5.
f) D4=5,5.
g) P47=6,5.
h) Q1=3,5.
i) sigma^2approx19,983.
j) sigmaapprox4,472.
k) CVapprox58,2%.
l) Distribuição levemente assimétrica à direita.
m) Empirical rule: 55 % dos dados em bar xpm1sigma (<68 %), ~100 % em bar xpm2sigma (>95 %), conforme Chebyshev.

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