38.38 • DADOS Ao analisar projetos de detector de fumaça que se baseiam no efeito fotoelétrico, você avalia superfícies fabricadas de cada um dos materiais listados na Tabela 38.1.
Elemento Função trabalho (eV)
Alumínio 4,3
Carbono 5,0
Cobre 4,7
Ouro 5,1
Níquel 5,1
Silício 4,8
Prata 4,3
Sódio 2,7
Uma aplicação em particular utiliza a luz ultravioleta com comprimento de onda de 270 nm . (a) Para quais dos seguintes materiais na Tabela 38.1 essa luz produzirá fotoelétrons? (b) Que material resultará em fotoelétrons com maior energia cinética? Qual será a velocidade máxima dos fotoelétrons produzidos enquanto saem da superfície desse material? (c) Qual é o maior comprimento de onda que produzirá fotoelétrons de uma superfície de ouro, se a superfície possui uma função trabalho igual ao valor dado para o ouro na Tabela 38.1? (d) Para o comprimento de onda calculado no item (c), qual será a energia cinética máxima dos fotoelétrons produzidos a partir de uma superfície de sódio que possui uma função de trabalho igual ao valor dado na Tabela 38.1 para o sódio?

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas (com a luz ultravioleta de comprimento de onda \,270\\ \text{nm}\,):
(a) Determinar para quais materiais da tabela a luz produzirá fotoelétrons.
(b) Dentre esses materiais, identificar qual dará fotoelétrons com maior energia cinética máxima e calcular a velocidade máxima desses elétrons ao saírem da superfície.
(c) Calcular o maior comprimento de onda que produzirá fotoelétrons de uma superfície de ouro, usando a função trabalho dada para o ouro.
(d) Para o comprimento de onda do item (c), calcular a energia cinética máxima dos fotoelétrons produzidos por uma superfície de sódio (usando a função trabalho do sódio da tabela).
Dados relevantes (retirados do enunciado / da tabela):
\begin{aligned} &\lambda_{\text{UV}}=270\\ \text{nm},\\\ &\text{funções trabalho (eV): }\phi_{\text{Al}}=4,3,\\ \phi_{\text{C}}=5,0,\\ \phi_{\text{Cu}}=4,7,\\\ &\phi_{\text{Au}}=5,1,\\ \phi_{\text{Ni}}=5,1,\\ \phi_{\text{Si}}=4,8,\\\ &\phi_{\text{Ag}}=4,3,\\ \phi_{\text{Na}}=2,7. \end{aligned}çõ
Constantes que usaremos:
\begin{aligned} &h=6,626\times10^{-34}\\ \text{J·s},\\\ &c=3,00\times10^{8}\\ \text{m/s},\\\ &e=1,602\times10^{-19}\\ \text{J/eV},\\\ &m_e=9,109\times10^{-31}\\ \text{kg}. \end{aligned}

Passo 2

Explicação do princípio físico e fórmulas usadas (aula curta e prática):
  • No efeito fotoelétrico, um fóton com energia E_{\text{fóton}}ó incide na superfície. Se essa energia for maior que a função trabalho \varphi do material, um elétron pode ser liberado. A energia cinética máxima dos fotoelétrons é dada por:
K_{\max} = E_{\text{fóton}} - \varphi,ó
onde K_{\max} e \varphi devem estar na mesma unidade (usamos eV ou J).
  • A energia do fóton é dada por:
E_{\text{fóton}} = h\nu = \frac{hc}{\lambda}.ó
  • Para converter joules para elétron-volts usamos 1\\ \text{eV}=e=1,602\times10^{-19}\\ \text{J}.
  • Se precisarmos da velocidade máxima do elétron, usamos a relação clássica entre energia cinética e velocidade:
K_{\max} = \tfrac{1}{2} m_e v_{\max}^2 \quad\Rightarrow\quad v_{\max}=\sqrt{\frac{2K_{\max}}{m_e}}.
Agora calculamos a energia do fóton da luz \lambda=270\\ \text{nm}.
Calcule E_{\text{fóton}}ó em joules:
E_{\text{fóton}}=\frac{hc}{\lambda}=\frac{(6,626\times10^{-34})(3,00\times10^{8})}{270\times10^{-9}}\\ \text{J}ó
=\frac{1,9878\times10^{-25}}{2,70\times10^{-7}}=7,366\times10^{-19}\\ \text{J}.
Convertemos para eV:
E_{\text{fóton}}=\frac{7,366\times10^{-19}}{1,602\times10^{-19}}\\ \text{eV}=4,596\\ \text{eV}\approx4,60\\ \text{eV}.ó
(Usando a aproximação prática E_{\text{(eV)}}\approx\frac{1240\\ \text{eV·nm}}{\lambda\\ (\text{nm})}=\frac{1240}{270}=4,59\\ \text{eV}.)

Passo 3

Item (a) — decidir emissão para cada material:
Regra: há emissão se E_{\text{fóton}}>\varphió.
Com E_{\text{fóton}}\approx4,596\\ \text{eV}ó, comparamos com cada \varphi da tabela:
\begin{aligned} &\phi_{\text{Al}}=4,3\\ \text{eV}\quad(4,596>4,3)\Rightarrow\text{emite},\\\ &\phi_{\text{C}}=5,0\\ \text{eV}\quad(4,596<5,0)\Rightarrow\text{não emite},\\\ &\phi_{\text{Cu}}=4,7\\ \text{eV}\quad(4,596<4,7)\Rightarrow\text{não emite},\\\ &\phi_{\text{Au}}=5,1\\ \text{eV}\quad(4,596<5,1)\Rightarrow\text{não emite},\\\ &\phi_{\text{Ni}}=5,1\\ \text{eV}\quad(4,596<5,1)\Rightarrow\text{não emite},\\\ &\phi_{\text{Si}}=4,8\\ \text{eV}\quad(4,596<4,8)\Rightarrow\text{não emite},\\\ &\phi_{\text{Ag}}=4,3\\ \text{eV}\quad(4,596>4,3)\Rightarrow\text{emite},\\\ &\phi_{\text{Na}}=2,7\\ \text{eV}\quad(4,596>2,7)\Rightarrow\text{emite}. \end{aligned}ããããã
Portanto, os materiais que emitirã o fotoelétrons com \lambda=270\\ \text{nm} são: alumínio, prata e sódio.

Passo 4

Item (b) — energia cinética máxima e velocidade máxima:
Primeiro, calcule K_{\max} (em eV) para os materiais que emitem, para comparar qual é maior:
\begin{aligned} &K_{\max,\text{Al}}=E_{\text{fóton}}-\phi_{\text{Al}}=4,596-4,3=0,296\\ \text{eV},\\\ &K_{\max,\text{Ag}}=4,596-4,3=0,296\\ \text{eV},\\\ &K_{\max,\text{Na}}=4,596-2,7=1,896\\ \text{eV}. \end{aligned}ó
Claramente o maior K_{\max} é para o sódio, com 1,896\\ \text{eV}.
Convertendo essa energia para joules:
K_{\max,\text{Na}}=1,896\times(1,602\times10^{-19})=3,037\times10^{-19}\\ \text{J}.
Agora calculamos a velocidade máxima usando
v_{\max}=\sqrt{\frac{2K_{\max}}{m_e}}=\sqrt{\frac{2(3,037\times10^{-19})}{9,109\times10^{-31}}}.
Avaliação numérica:
\frac{2K_{\max}}{m_e}=\frac{6,074\times10^{-19}}{9,109\times10^{-31}}=6,671\times10^{11},
v_{\max}=\sqrt{6,671\times10^{11}}=8,17\times10^{5}\\ \text{m/s}.
Portanto, o material que resulta em maior energia cinética é o sódio, e a velocidade máxima dos fotoelétrons é aproximadamente 8,17\times10^{5}\\ \text{m/s}.

Passo 5

Item (c) — maior comprimento de onda que produzirá fotoelétrons de ouro:
Para o limite de emissão, a energia do fóton iguala a função trabalho: E_{\text{fóton}}=\phi_{\text{Au}}ó. Assim
\lambda_{\max}=\frac{hc}{\phi_{\text{Au}}}.
Usando \phi_{\text{Au}}=5,1\\ \text{eV}. Convertemos para Joules ou usamos a fórmula prática em nm·eV:
\lambda_{\max}(\text{nm})=\frac{1240\\ \text{eV·nm}}{\phi_{\text{Au}}(\text{eV})}=\frac{1240}{5,1}=243,14\\ \text{nm}.
Arredondando com sentido prático: \lambda_{\max}\approx243\\ \text{nm}.

Passo 6

Item (d) — para \lambda=\lambda_{\max} calculada em (c), energia cinética máxima para sódio:
Quando \lambda=243,14\\ \text{nm}, o fóton tem energia igual a \phi_{\text{Au}}=5,1\\ \text{eV}. Usamos
K_{\max,\text{Na}} = E_{\text{fóton}} - \phi_{\text{Na}} = 5,1 - 2,7 = 2,4\\ \text{eV}.ó
Convertendo para joules:
K_{\max,\text{Na}} = 2,4\times(1,602\times10^{-19})=3,845\times10^{-19}\\ \text{J}.

Resposta

(a) Alumínio; Prata; Sódio.
(b) Sódio; v_{\max}\approx8,17\times10^{5}\\ \text{m/s}.
(c) \lambda_{\max,\text{Au}}\approx243\\ \text{nm}.
(d) K_{\max,\text{Na}}=2,4\\ \text{eV}\\ (=3,845\times10^{-19}\\ \text{J}).

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