Um esquiador de 60 kg deixa a extremidade de uma rampa de salto de esqui com uma velocidade de 24 \mathrm{~m} / \mathrm{s} 25^{\circ} acima da horizontal. Suponha que, devido ao arrasto do ar, o esquiador retorne ao solo com uma velocidade de 22 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, aterrissando 14 m verticalmente abaixo da extremidade da rampa. Do início do salto até o retorno ao solo, de quanto a energia mecânica do sistema esquiador-Terra foi reduzida devido ao arrasto do ar?
7. Durante uma avalanche, uma pedra de 520 kg desliza a partir do repouso, descendo a encosta de uma montanha que tem 500 m de comprimento e 300 m de altura. O coeficiente de atrito cinético entre a pedra e a encosta é 0,25 . (a) Se a energia potencial gravitacional U do sistema rocha- Terra é
nula na base da montanha, qual é o valor de U imediatamente antes de começar a avalanche? (b) Qual é a energia transformada em energia térmica durante a avalanche? (c) Qual é a energia cinética da pedra ao chegar à base da montanha? (d) Qual é a velocidade da pedra nesse instante?

Passo 1

Vou separar claramente o que cada enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
Primeiro exercício (esquiador):
  • Dados: m=60\\ \mathrm{kg},\qquad v_i=24\\ \mathrm{m/s},\qquad v_f=22\\ \mathrm{m/s},\qquad \Delta h=14\\ \mathrm{m}Observação: o ângulo 25^\circ acima da horizontal só muda a decomposição da velocidade, mas para energia mecânica só importa a velocidade escalar (módulo) e a variação de altura.
  • Pergunta: De quanto a energia mecânica do sistema esquiador–Terra foi reduzida devido ao arrasto do ar, do início do salto até o retorno ao solo?
Segundo exercício (avalanche, pedra):
  • Dados: m=520\\ \mathrm{kg},\qquad L=500\\ \mathrm{m}\\ (\text{comprimento da encosta}),\qquad h=300\\ \mathrm{m},\qquad \mu_k=0,25Referência: a energia potencial gravitacional U do sistema rocha–Terra é nula na base da montanha.
  • Perguntas:
    (a) Qual é o valor de U imediatamente antes de começar a avalanche?
    (b) Qual é a energia transformada em energia térmica durante a avalanche (trabalho da força de atrito)?
    (c) Qual é a energia cinética da pedra ao chegar à base?
    (d) Qual é a velocidade da pedra nesse instante?

Passo 2

Conceitos e fórmulas úteis (explicação didática rápida, para usar na prova):
  • Energia cinética: a energia associada ao movimento de um corpo de massa m e velocidade v é dada por K=\tfrac{1}{2} m v^2,onde m é em quilogramas e v em metros por segundo; K em joules.
  • Energia potencial gravitacional (perto da superfície, com campo uniforme): para um corpo de massa m a uma altura h (referência escolhida), U=m g h,onde g\approx9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Trabalho de forças não-conservativas (como o atrito do ar) altera a energia mecânica. Se W_{\text{nc}} é o trabalho total dessas forças, a variação da energia mecânica é W_{\text{nc}} = \Delta E_{\text{mec}} = (K_f+U_f)-(K_i+U_i).Se quisermos quanto a energia mecânica foi reduzida (perda), podemos calcular \text{Perda} = (K_i+U_i)-(K_f+U_f).Em provas, escolha uma referência para U que simplifique contas (aqui vou escolher a base/solo quando conveniente).

Passo 3

Resolvendo o problema do esquiador — organização do cálculo:
  • Vou tomar como referência de energia potencial o solo onde o esquiador aterrissa (ou seja, U_f=0). Assim U_i = m g \Delta h, pois ele parte 14\\ \mathrm{m} acima do ponto de aterrissagem.
  • A perda de energia mecânica por arrasto é: \text{Perda} = (K_i+U_i)-(K_f+U_f).

Passo 4

Cálculo detalhado das energias iniciais e finais (esquiador):
  • Energia cinética inicial: K_i=\tfrac{1}{2} m v_i^2=\tfrac{1}{2}\cdot 60\cdot 24^2.Calcule 24^2=576. Então K_i=\tfrac{1}{2}\cdot 60\cdot 576=30\cdot 576=17\,280\\ \mathrm{J}.
  • Energia cinética final: K_f=\tfrac{1}{2} m v_f^2=\tfrac{1}{2}\cdot 60\cdot 22^2.Calcule 22^2=484. Então K_f=30\cdot 484=14\,520\\ \mathrm{J}.
  • Energia potencial inicial (referência no solo onde aterrissa, U_f=0): U_i=m g \Delta h = 60\cdot 9,8\cdot 14.Calcule 9,8\cdot 14=137,2, então U_i=60\cdot 137,2=8\,232\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Cálculo da perda de energia por arrasto (esquiador):
  • Agora use \text{Perda}=(K_i+U_i)-(K_f+U_f)=(17\,280+8\,232)-(14\,520+0).Some 17\,280+8\,232=25\,512. Subtraia 14\,520: \text{Perda}=25\,512-14\,520=10\,992\\ \mathrm{J}.
  • Interpretação: aproximadamente 1,0992\times 10^{4}\\ \mathrm{J} de energia mecânica foram dissipados pelo arrasto do ar entre o lançamento e a aterrissagem.

Passo 6

Passando ao problema da avalanche — estratégia:
  • Usaremos conservação de energia incluindo trabalho do atrito: a energia potencial inicial U_i vai se transformar em trabalho de atrito W_{\text{fric}} e em energia cinética final K_f: U_i = W_{\text{fric}} + K_f,já que K_i=0 (partida do repouso) e a referência U=0 está na base.
  • Para calcular W_{\text{fric}} precisamos da força de atrito cinético f_k=\mu_k N, com N a normal. Numa rampa inclinada, N=m g\cos\theta. O trabalho da força de atrito (módulo) ao longo de toda a encosta de comprimento L é W_{\text{fric}}=f_k L=\mu_k (m g\cos\theta)L.
  • Precisamos de \cos\theta. Da geometria da encosta, \sin\theta=\frac{h}{L}=\frac{300}{500}=0,6.Logo \cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}=\sqrt{1-0,36}=\sqrt{0,64}=0,8.

Passo 7

Cálculo de (a): energia potencial inicial U_i (avalanche):
  • Usando U_i=m g h, U_i=520\cdot 9,8\cdot 300.Calcule 520\cdot 9,8=5\,096. Então U_i=5\,096\cdot 300=1\,528\,800\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Cálculo de (b): trabalho da força de atrito W_{\text{fric}} (energia térmica gerada):
  • Primeiro calcule a normal: N=m g\cos\theta=520\cdot 9,8\cdot 0,8. Já sabemos 520\cdot 9,8=5\,096; então N=5\,096\cdot 0,8=4\,076,8\\ \mathrm{N}.
  • Força de atrito cinético: f_k=\mu_k N=0,25\cdot 4\,076,8=1\,019,2\\ \mathrm{N}.
  • Trabalho (energia térmica gerada) ao longo de L=500\\ \mathrm{m}: W_{\text{fric}}=f_k L=1\,019,2\cdot 500=509\,600\\ \mathrm{J}.

Passo 9

Cálculo de (c): energia cinética ao chegar à base K_f:
  • Da energia inicial menos o que foi perdido por atrito, K_f=U_i-W_{\text{fric}}=1\,528\,800-509\,600=1\,019\,200\\ \mathrm{J}.
  • Interpretação: essa é a energia disponível em forma de movimento ao chegar à base.

Passo 10

Cálculo de (d): velocidade final usando K_f=\tfrac{1}{2} m v^2:
  • Resolva para v: v=\sqrt{\frac{2K_f}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 1\,019\,200}{520}}.Calcule o numerador 2\cdot 1\,019\,200=2\,038\,400. Divida por 520: \frac{2\,038\,400}{520}=3\,920.Agora a raiz quadrada: v=\sqrt{3\,920}\approx 62,6\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação: a pedra chega muito rápida (≈ 62,6\\ \mathrm{m/s}), resultado previsível dada a grande queda de 300\\ \mathrm{m} e coeficiente de atrito relativamente pequeno.

Resposta

Energia mecânica perdida pelo esquiador devido ao arrasto: 10\,992\\ \mathrm{J}
(a) U_{\text{inicial}}=1\,528\,800\\ \mathrm{J}
(b) Energia transformada em térmica (atrito): 509\,600\\ \mathrm{J}
(c) Energia cinética ao chegar à base: 1\,019\,200\\ \mathrm{J}
(d) Velocidade ao chegar à base: 62,6\\ \mathrm{m/s}

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