Um esquiador de 60 kg deixa a extremidade de uma rampa de salto de esqui com uma velocidade de
acima da horizontal. Suponha que, devido ao arrasto do ar, o esquiador retorne ao solo com uma velocidade de
, aterrissando 14 m verticalmente abaixo da extremidade da rampa. Do início do salto até o retorno ao solo, de quanto a energia mecânica do sistema esquiador-Terra foi reduzida devido ao arrasto do ar?
7. Durante uma avalanche, uma pedra de 520 kg desliza a partir do repouso, descendo a encosta de uma montanha que tem 500 m de comprimento e 300 m de altura. O coeficiente de atrito cinético entre a pedra e a encosta é 0,25 . (a) Se a energia potencial gravitacional U do sistema rocha- Terra é
nula na base da montanha, qual é o valor de U imediatamente antes de começar a avalanche? (b) Qual é a energia transformada em energia térmica durante a avalanche? (c) Qual é a energia cinética da pedra ao chegar à base da montanha? (d) Qual é a velocidade da pedra nesse instante?
7. Durante uma avalanche, uma pedra de 520 kg desliza a partir do repouso, descendo a encosta de uma montanha que tem 500 m de comprimento e 300 m de altura. O coeficiente de atrito cinético entre a pedra e a encosta é 0,25 . (a) Se a energia potencial gravitacional U do sistema rocha- Terra é
nula na base da montanha, qual é o valor de U imediatamente antes de começar a avalanche? (b) Qual é a energia transformada em energia térmica durante a avalanche? (c) Qual é a energia cinética da pedra ao chegar à base da montanha? (d) Qual é a velocidade da pedra nesse instante?
Passo 1
Vou separar claramente o que cada enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
Primeiro exercício (esquiador):
- Dados:
Observação: o ângulo acima da horizontal só muda a decomposição da velocidade, mas para energia mecânica só importa a velocidade escalar (módulo) e a variação de altura. - Pergunta: De quanto a energia mecânica do sistema esquiador–Terra foi reduzida devido ao arrasto do ar, do início do salto até o retorno ao solo?
Segundo exercício (avalanche, pedra):
- Dados:
Referência: a energia potencial gravitacional do sistema rocha–Terra é nula na base da montanha. - Perguntas:
(a) Qual é o valor deimediatamente antes de começar a avalanche?
(b) Qual é a energia transformada em energia térmica durante a avalanche (trabalho da força de atrito)?
(c) Qual é a energia cinética da pedra ao chegar à base?
(d) Qual é a velocidade da pedra nesse instante?
Passo 2
Conceitos e fórmulas úteis (explicação didática rápida, para usar na prova):
- Energia cinética: a energia associada ao movimento de um corpo de massa
e velocidade é dada por onde é em quilogramas e em metros por segundo; em joules. - Energia potencial gravitacional (perto da superfície, com campo uniforme): para um corpo de massa
a uma altura (referência escolhida), onde . - Trabalho de forças não-conservativas (como o atrito do ar) altera a energia mecânica. Se
é o trabalho total dessas forças, a variação da energia mecânica é Se quisermos quanto a energia mecânica foi reduzida (perda), podemos calcular Em provas, escolha uma referência para que simplifique contas (aqui vou escolher a base/solo quando conveniente).
Passo 3
Resolvendo o problema do esquiador — organização do cálculo:
- Vou tomar como referência de energia potencial o solo onde o esquiador aterrissa (ou seja,
). Assim , pois ele parte acima do ponto de aterrissagem. - A perda de energia mecânica por arrasto é:
Passo 4
Cálculo detalhado das energias iniciais e finais (esquiador):
- Energia cinética inicial:
Calcule . Então - Energia cinética final:
Calcule . Então - Energia potencial inicial (referência no solo onde aterrissa,
): Calcule , então
Passo 5
Cálculo da perda de energia por arrasto (esquiador):
- Agora use
Some . Subtraia : - Interpretação: aproximadamente
de energia mecânica foram dissipados pelo arrasto do ar entre o lançamento e a aterrissagem.
Passo 6
Passando ao problema da avalanche — estratégia:
- Usaremos conservação de energia incluindo trabalho do atrito: a energia potencial inicial
vai se transformar em trabalho de atrito e em energia cinética final : já que (partida do repouso) e a referência está na base. - Para calcular
precisamos da força de atrito cinético , com a normal. Numa rampa inclinada, . O trabalho da força de atrito (módulo) ao longo de toda a encosta de comprimento é - Precisamos de
. Da geometria da encosta, Logo
Passo 7
Cálculo de (a): energia potencial inicial
(avalanche):
- Usando
, Calcule . Então
Passo 8
Cálculo de (b): trabalho da força de atrito
(energia térmica gerada):
- Primeiro calcule a normal:
. Já sabemos ; então - Força de atrito cinético:
- Trabalho (energia térmica gerada) ao longo de
:
Passo 9
Cálculo de (c): energia cinética ao chegar à base
:
- Da energia inicial menos o que foi perdido por atrito,
- Interpretação: essa é a energia disponível em forma de movimento ao chegar à base.
Passo 10
Cálculo de (d): velocidade final usando
:
- Resolva para
: Calcule o numerador . Divida por : Agora a raiz quadrada: - Interpretação: a pedra chega muito rápida (≈
), resultado previsível dada a grande queda de e coeficiente de atrito relativamente pequeno.
Resposta
Energia mecânica perdida pelo esquiador devido ao arrasto:
(a)
(b) Energia transformada em térmica (atrito):
(c) Energia cinética ao chegar à base:
(d) Velocidade ao chegar à base:
(b) Energia transformada em térmica (atrito):
(c) Energia cinética ao chegar à base:
(d) Velocidade ao chegar à base: