Um cubo de gelo de 20,0 \mathrm{~g} \mathrm{a}-10,0^{\circ} \mathrm{C} é colocado num lago que está a 15,0^{\circ} \mathrm{C}. Os calores específico e de transformação do gelo são. respectivamente, 2220 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} . \mathrm{K}) e 333 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}. Quando o cubo de gelo atingir o equilíbrio térmico com o lago calcule:
(a) a variação de entropia do cubo de gelo,
Dica: O cubo afetará a temperatura do lago?
Resposta: □
(b) a variação de entropia do lago, e
Resposta: □
(c) a variação de entropia do sistema (cubo de gelo + lago).
Resposta: □

Passo 1

O enunciado pede três coisas quando o cubo de gelo atingir o equilíbrio térmico com o lago:
(a) a variação de entropia do cubo de gelo;
(b) a variação de entropia do lago;
(c) a variação de entropia do sistema (cubo + lago).
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • massa do cubo: \,m=20{,}0\\ \mathrm{g}=0{,}0200\\ \mathrm{kg}\,;
  • temperatura inicial do gelo: \,T_{i,\text{gelo}}=-10{,}0^\circ\mathrm{C}=263{,}15\\ \mathrm{K}\,;
  • temperatura do lago (temperatura final do cubo): \,T_{\text{lago}}=15{,}0^\circ\mathrm{C}=288{,}15\\ \mathrm{K}\,;
  • calor específico do gelo: \,c_{\text{gelo}}=2220\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\,;
  • calor de fusão do gelo: \,L_f=333\\ \mathrm{kJ/kg}=333000\\ \mathrm{J/kg}\,.
Observação importante (dada pela dica do enunciado): assumir se o cubo altera a temperatura do lago. Se o lago for grande (reservatório térmico), sua temperatura permanece essencialmente constante em \,T_{\text{lago}}=288{,}15\\ \mathrm{K}\,. Vamos usar essa hipótese (reservatório térmico) — ou seja, o lago não muda de temperatura quando recebe calor do cubo.
(Como o enunciado dá a dica, aplicamos esse modelo porque é o mais razoável para um lago grande.)

Passo 2

Descrevendo o processo físico do cubo até atingir o equilíbrio:
  • Etapa 1: aquecimento do gelo de \,-10{,}0^\circ\mathrm{C} até 0{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Etapa 2: fusão do gelo a 0{,}0^\circ\mathrm{C} (transformação de sólido para líquido).
  • Etapa 3: aquecimento da água resultante de 0{,}0^\circ\mathrm{C} até 15{,}0^\circ\mathrm{C}.
Cada etapa troca calor com o lago; vamos calcular as trocas de calor e as variações de entropia correspondentes etapa a etapa.

Passo 3

Lembrando a definição e fórmulas úteis de entropia:
  • A variação de entropia associada a uma transferência reversível de calor é
\Delta S=\int \frac{dQ_{\text{rev}}}{T}.
  • Para aquecimento (sem mudança de fase) com calor específico constante c, temos
\Delta S = m c \int_{T_i}^{T_f}\frac{dT}{T} = m c \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right),
onde m é a massa, c o calor específico, T_i e T_f as temperaturas em kelvin.
  • Para uma transformação de fase que ocorre à temperatura constante T_{\text{fase}}, a variação de entropia é
\Delta S = \frac{Q_{\text{rev}}}{T_{\text{fase}}} = \frac{m L}{T_{\text{fase}}},
onde L é o calor latente por unidade de massa.
Vamos aplicar essas fórmulas às três etapas do cubo.

Passo 4

Calcular os calores trocados em cada etapa (positivo se recebido pelo cubo):
Etapa 1 — aquecer gelo de -10{,}0^\circ\mathrm{C} a 0{,}0^\circ\mathrm{C}:
Q_1 = m c_{\text{gelo}} \Delta T = (0{,}0200)(2220)(0 - (-10)) = 0{,}0200\cdot2220\cdot10.
Calculando:
0{,}0200\cdot2220=44{,}4\quad\Rightarrow\quad Q_1=44{,}4\cdot10=444\\ \mathrm{J}.
Etapa 2 — fusão a 0{,}0^\circ\mathrm{C}:
Q_2 = m L_f = 0{,}0200\cdot333000=6660\\ \mathrm{J}.
Etapa 3 — aquecer água de 0{,}0^\circ\mathrm{C} a 15{,}0^\circ\mathrm{C}:
Para essa etapa precisamos do calor específico da água líquida. Como não foi fornecido, usamos o valor padrão aproximado \,c_{\text{água}}=4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\,á (valor usual adotado em problemas).
Q_3 = m c_{\text{água}} \Delta T = 0{,}0200\cdot4186\cdot(15-0)=0{,}0200\cdot4186\cdot15.á
Calculando:
0{,}0200\cdot4186=83{,}72\quad\Rightarrow\quad Q_3=83{,}72\cdot15=1255{,}8\\ \mathrm{J}.
Energia total absorvida pelo cubo:
Q_{\text{cubo}}=Q_1+Q_2+Q_3=444+6660+1255{,}8=8359{,}8\\ \mathrm{J}\\ (\approx 8360\\ \mathrm{J}).
Como o lago é tratado como reservatório a temperatura constante \,T_{\text{lago}}=288{,}15\\ \mathrm{K}\,, o calor recebido pelo lago é
Q_{\text{lago}}=-Q_{\text{cubo}}=-8359{,}8\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calcular a variação de entropia do cubo etapa a etapa.
Etapa 1 (aquecimento do gelo de 263{,}15\\ \mathrm{K} a 273{,}15\\ \mathrm{K}):
\Delta S_1 = m c_{\text{gelo}}\ln\!\left(\frac{T_{f}}{T_{i}}\right) =0{,}0200\cdot2220\cdot\ln\!\left(\frac{273{,}15}{263{,}15}\right).
Calcule a razão e o logaritmo:
\frac{273{,}15}{263{,}15}=1{,}03803\quad\Rightarrow\quad \ln(1{,}03803)=0{,}03734.
Logo
\Delta S_1=44{,}4\cdot0{,}03734=1{,}658\\ \mathrm{J/K}.
Etapa 2 (fusão a 273{,}15\\ \mathrm{K}):
\Delta S_2 = \frac{m L_f}{T_{\text{fus}}}=\frac{6660}{273{,}15}=24{,}394\\ \mathrm{J/K}.
Etapa 3 (aquecimento da água de 273{,}15\\ \mathrm{K} a 288{,}15\\ \mathrm{K}):
\Delta S_3 = m c_{\text{água}}\ln\!\left(\frac{288{,}15}{273{,}15}\right) =0{,}0200\cdot4186\cdot\ln\!\left(\frac{288{,}15}{273{,}15}\right).á
Razão e logaritmo:
\frac{288{,}15}{273{,}15}=1{,}05495\quad\Rightarrow\quad \ln(1{,}05495)=0{,}05348.
Então
\Delta S_3=83{,}72\cdot0{,}05348=4{,}476\\ \mathrm{J/K}.
Somando as três contribuições:
\Delta S_{\text{cubo}}=\Delta S_1+\Delta S_2+\Delta S_3=1{,}658+24{,}394+4{,}476=30{,}528\\ \mathrm{J/K}.
Arredondando com consistência significativa, \Delta S_{\text{cubo}}\approx30{,}53\\ \mathrm{J/K}.

Passo 6

Calcular a variação de entropia do lago, que é tratado como reservatório isotérmico a \,T_{\text{lago}}=288{,}15\\ \mathrm{K}\,.
Para um reservatório isotérmico:
\Delta S_{\text{lago}}=\frac{Q_{\text{lago}}}{T_{\text{lago}}}=\frac{-8359{,}8}{288{,}15}=-29{,}01\\ \mathrm{J/K}.
(Valor arredondado: \Delta S_{\text{lago}}\approx -29{,}01\\ \mathrm{J/K}.)

Passo 7

Variação total de entropia do sistema (cubo + lago):
\Delta S_{\text{sistema}}=\Delta S_{\text{cubo}}+\Delta S_{\text{lago}}=30{,}528+(-29{,}01)=1{,}518\\ \mathrm{J/K}.
Arredondando: \Delta S_{\text{sistema}}\approx1{,}52\\ \mathrm{J/K}.
Comentário físico rápido (pra te animar): resultado positivo para \Delta S_{\text{sistema}} indica que o processo é irreversível (calor flui de corpo quente para corpo frio), e tudo bate com a segunda lei da termodinâmica.

Resposta

\Delta S_{\text{cubo}}=30{,}53\\ \mathrm{J/K}
\Delta S_{\text{lago}}=-29{,}01\\ \mathrm{J/K}
\Delta S_{\text{sistema}}=1{,}52\\ \mathrm{J/K}

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