(38) Decompor o número 97 em 4 números de maneira que a soma de seus quadrados seja mínima.
Passo 1
O enunciado pede quatro números inteiros cuja soma seja 97 e que façam a soma dos quadrados o menor possível. O conteúdo aplicado aqui é otimização discreta, usando o fato de que para soma fixa a soma de quadrados é mínima quando os termos são o mais iguais possível.
Passo 2
Se pudéssemos escolher números reais, a soma de quadrados é mínima quando todos os termos são iguais. Nesse caso cada termo valeria
. Como precisamos de inteiros, vamos aproximar cada termo para 24 ou 25.
Passo 3
Suponha que temos
termos iguais a 25 e
termos iguais a 24. A condição de soma é:
Isso dá
Logo, há três termos iguais a 24 e um termo igual a 25.
Passo 4
Agora calculamos a soma dos quadrados desses números:
Assim, essa decomposição minimiza a soma dos quadrados.
Resposta
Os números são 24, 24, 24 e 25.