(38) Decompor o número 97 em 4 números de maneira que a soma de seus quadrados seja mínima.

Passo 1

O enunciado pede quatro números inteiros cuja soma seja 97 e que façam a soma dos quadrados o menor possível. O conteúdo aplicado aqui é otimização discreta, usando o fato de que para soma fixa a soma de quadrados é mínima quando os termos são o mais iguais possível.

Passo 2

Se pudéssemos escolher números reais, a soma de quadrados é mínima quando todos os termos são iguais. Nesse caso cada termo valeria 97/4 = 24,25. Como precisamos de inteiros, vamos aproximar cada termo para 24 ou 25.

Passo 3

Suponha que temos k termos iguais a 25 e 4-k termos iguais a 24. A condição de soma é:
(4 - k) cdot 24 + k cdot 25 = 97
Isso dá
96 + k = 97 implies k = 1
Logo, há três termos iguais a 24 e um termo igual a 25.

Passo 4

Agora calculamos a soma dos quadrados desses números:
3 cdot 24^2 + 25^2 = 3 cdot 576 + 625 = 1728 + 625 = 2353
Assim, essa decomposição minimiza a soma dos quadrados.

Resposta

Os números são 24, 24, 24 e 25.

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