Determine a solução do problema de valor inicial. Indique o maior intervalo no qual a solução é definida. Dê a classificação (tipo, ordem, linearidade e se é homogênea ou não).
c d yd x+y=e^ax y(0)=1
Marque a alternativa correta que informe a solução do PVI:
(a) y(x)=12 e^x+25 e^3 x
(b) y(x)=34 e^-x+14 e^3 x
© y(x)=e^-x+14 e^x
(d) y(x)=12 e^-2 x-34 e^2 x
(e) y(x)=34 e^-2 x+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que é uma equação diferencial. A equação dada é:
d yd x + y = e^3x
com a condição inicial $ y(0) = 1 $. O conteúdo que a gente vai usar aqui é sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem. Vamos precisar entender o que são fatores integrantes e como aplicá-los para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da equação. Ela está na forma geral:
d yd x + P(x) y = Q(x)
Aqui, $ P(x) = 1 $ e $ Q(x) = e^{3x} $. Para resolver, usamos o método do fator integrante, que é:
P(x) = 1
Vamos calcular esse fator integrante.

Passo 3

Calculando o fator integrante $ \mu(x) $:
mu(x)
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial por $ \mu(x) $:
mu(x) = e^integral 1 , dx = e^x
Isso transforma a equação em uma forma que facilita a resolução.

Passo 4

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x) y $:
mu(x) y
Para achar $ y $, integramos ambos os lados:
dd x (e^x y) = e^4x

Passo 5

Integrando:
e^x y = e^4x4 + C
Onde $ C $ é a constante de integração. Agora, isolamos $ y $:
C

Passo 6

Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar $ C $:
y(0) = 1

Passo 7

Substituímos o valor de $ C $ na solução geral:
C
Podemos reescrever para deixar mais claro:
y(x) = e^3x4 + 34 e^-x

Resposta

A solução do PVI é:
y(x) = 34 e^-x + 14 e^3x

Classificação

  • Tipo: Equação Diferencial Linear
  • Ordem: Primeira Ordem
  • Linearidade: Linear
  • Homogênea: Não homogênea (porque tem o termo $ e^{3x} $ que não depende de $ y $)
O maior intervalo onde a solução está definida é $ \mathbb{R} $ (todos os números reais).

Alternativa Correta

A alternativa correta é a (b).

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