Determine a solução do problema de valor inicial. Indique o maior intervalo no qual a solução é definida. Dê a classificação (tipo, ordem, linearidade e se é homogênea ou não).
Marque a alternativa correta que informe a solução do PVI:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que é uma equação diferencial. A equação dada é:
com a condição inicial $ y(0) = 1 $. O conteúdo que a gente vai usar aqui é sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem. Vamos precisar entender o que são fatores integrantes e como aplicá-los para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da equação. Ela está na forma geral:
Aqui, $ P(x) = 1 $ e $ Q(x) = e^{3x} $. Para resolver, usamos o método do fator integrante, que é:
Vamos calcular esse fator integrante.
Passo 3
Calculando o fator integrante $ \mu(x) $:
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial por $ \mu(x) $:
Isso transforma a equação em uma forma que facilita a resolução.
Passo 4
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x) y $:
Para achar $ y $, integramos ambos os lados:
Passo 5
Integrando:
Onde $ C $ é a constante de integração. Agora, isolamos $ y $:
Passo 6
Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar $ C $:
Passo 7
Substituímos o valor de $ C $ na solução geral:
Podemos reescrever para deixar mais claro:
Resposta
A solução do PVI é:
Classificação
- Tipo: Equação Diferencial Linear
- Ordem: Primeira Ordem
- Linearidade: Linear
- Homogênea: Não homogênea (porque tem o termo $ e^{3x} $ que não depende de $ y $)
O maior intervalo onde a solução está definida é $ \mathbb{R} $ (todos os números reais).
Alternativa Correta
A alternativa correta é a (b).