Esboce a região delimitada pelas curvas e decida se a integração deve ser feito com relação a variável x ou y. Desenhe um retângulo típico com sua altura e largura. Finalmente ache a área da região.
y=sen(x), y=x^2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região limitada pelas curvas y=sin(x) e y=x^2, decidir se vamos integrar em x ou em y, desenhar um retângulo típico e finalmente calcular a área dessa região. O conteúdo é área entre duas curvas, que exige encontrar os pontos de interseção, escolher a variável adequada e usar integração definida.

Passo 2

Para achar os limites de integração, resolvemos sin(x)=x^2. Obtemos as soluções x=0 e a positiva x=a com aapprox0.8767, pois para valores em (0,1) essa é a única outra interseção.
Como ambas as funções estão dadas na forma y=f(x), fica natural integrar em x. A região está “entre” as curvas, com ytopo=sin(x) e yfundo=x^2.
O retângulo típico tem base de comprimento De e altura dada pela diferença sin(x)-x^2.

Passo 3

Assim, a área fica
A=integral0^al(sin(x)-x^2r),dx

Passo 4

Para calcular, usamos as antiderivadas integralsin(x),dx=-cos(x) e integral x^2,dx=tfracx^33. Avaliando de 0 a a
A=l[-cos(x)-tfracx^33r]0^a =l(-cos(a)-tfraca^33r)-(-cos(0)-0) =1-cos(a)-tfraca^33

Passo 5

Substituindo numericamente aapprox0.8767 e cos(a)approx0.6399 obtemos Aapprox0.136.

Resposta

A área da região é aproximadamente 0.136.

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