Calcule o valor de k de modo que a equação diferencial (E.D.) dada seja exata. E resolva-a.
(y^3+k x y^4-2 x) d x+(3 x y^2+20 x^2 y^3) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de k que torna a equação diferencial
(y^3+k x y^4-2 x),dx+(3 x y^2+20 x^2 y^3),dy=0
exata, e então resolvê-la. Vamos usar o critério de exatidão para equações do tipo M(x,y),dx+N(x,y),dy=0, que exige partial M/partial y=partial N/partial x.

Passo 2

Começamos calculando as derivadas parciais:
M(x,y)=y^3+k x y^4-2ximplies partial Mpartial y=3y^2+4k x y^3,
N(x,y)=3x y^2+20x^2y^3implies partial Npartial x=3y^2+40x y^3
Igualando as duas expressões para garantir exatidão, obtemos:
3y^2+4k x y^3=3y^2+40x y^3implies 4k=40implies k=10

Passo 3

Com k=10, nossa E.D. fica exata. Agora buscamos uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x=M(x,y)=y^3+10x y^4-2x
Integramos em relação a x:
phi(x,y)=integral(y^3+10x y^4-2x),dx =xy^3+5x^2y^4-x^2+h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Para determinar h(y), derivamos phi em relação a y e igualamos a N(x,y):
partial phipartial y=3x y^2+20x^2y^3+h'(y)
Devemos ter
3x y^2+20x^2y^3+h'(y)=3x y^2+20x^2y^3implies h'(y)=0implies h(y)=C

Passo 5

A solução geral implícita da equação diferencial, reunindo phi(x,y)= constante, fica:

Resposta

x y^3+5 x^2 y^4-x^2=C

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