Calcule o valor de
de modo que a equação diferencial (E.D.) dada seja exata. E resolva-a.
Passo 1
O enunciado pede para achar o valor de k que torna a equação diferencial
exata, e então resolvê-la. Vamos usar o critério de exatidão para equações do tipo
, que exige
.
Passo 2
Começamos calculando as derivadas parciais:
Igualando as duas expressões para garantir exatidão, obtemos:
Passo 3
Com
, nossa E.D. fica exata. Agora buscamos uma função potencial
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Passo 4
Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Devemos ter
Passo 5
A solução geral implícita da equação diferencial, reunindo
constante, fica: