Em cada um dos Exercícios a) a f) dê um ou dois termos iniciais de uma sequência, bem como uma fórmula de recursão para os termos remanescentes. Escreva os dez termos iniciais da sequência.
a_{1}=-2, a_{n+1}=\frac{n \cdot a_{n}}{n+1}

Passo 1

O enunciado define a sequência com a_{1}=-2 e relação recursiva
a_{n+1}=\frac{n\,a_{n}}{n+1}.
Precisamos indicar um ou dois termos iniciais, dar a fórmula de recursão para os demais termos e listar os dez primeiros termos. O conteúdo aqui é sequência recursiva e identificação de padrão para encontrar a forma explícita.

Passo 2

Para obter o segundo termo, basta usar a recursão com n=1:
a_{2}=\frac{1\cdot a_{1}}{2}=\frac{1\cdot(-2)}{2}=-1.
Assim, podemos tomar como termos iniciais
a_{1}=-2,\quad a_{2}=-1.

Passo 3

Calculando mais alguns termos vemos um padrão:
a_{3}=\frac{2\cdot(-1)}{3}=-\frac{2}{3},\quad a_{4}=\frac{3\cdot(-\tfrac{2}{3})}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac12,\quad a_{5}=\frac{4\cdot(-\tfrac12)}{5}=-\frac{2}{5}.
Isso sugere que o termo geral seja
a_{n}=-\frac{2}{n}.
Podemos reescrever a recursão, para n\ge2, como
a_{n}=\frac{n-1}{n}\,a_{n-1}.

Passo 4

Verificamos a fórmula explícita por substituição: supondo a_{n}=-\tfrac{2}{n}, então
a_{n+1}=\frac{n}{n+1}a_{n} =\frac{n}{n+1}\Bigl(-\frac{2}{n}\Bigr) =-\frac{2}{n+1},
o que confirma que a forma a_{n}=-\tfrac{2}{n} vale para todo n\ge1.

Passo 5

Listamos os dez primeiros termos da sequência:
a_{1}=-2,\quad a_{2}=-1,\quad a_{3}=-\tfrac{2}{3},\quad a_{4}=-\tfrac12,\quad a_{5}=-\tfrac{2}{5},\quad a_{6}=-\tfrac13,\quad a_{7}=-\tfrac{2}{7},\quad a_{8}=-\tfrac14,\quad a_{9}=-\tfrac{2}{9},\quad a_{10}=-\tfrac15.

Resposta

Os termos iniciais são
a_{1}=-2,\quad a_{2}=-1,
a recursão pode ser escrita como
a_{n}=\frac{n-1}{n}\,a_{n-1},\quad n\ge2,
e a fórmula explícita é
a_{n}=-\frac{2}{n}.
Os dez primeiros termos são
-2,\;-1,\;-\tfrac{2}{3},\;-\tfrac12,\;-\tfrac{2}{5},\;-\tfrac13,\;-\tfrac{2}{7},\;-\tfrac14,\;-\tfrac{2}{9},\;-\tfrac15.

Exercícios relacionados