Em cada um dos Exercícios a) a f) dê um ou dois termos iniciais de uma sequência, bem como uma fórmula de recursão para os termos remanescentes. Escreva os dez termos iniciais da sequência.
Passo 1
O enunciado define a sequência com
e relação recursiva
Precisamos indicar um ou dois termos iniciais, dar a fórmula de recursão para os demais termos e listar os dez primeiros termos. O conteúdo aqui é sequência recursiva e identificação de padrão para encontrar a forma explícita.
Passo 2
Para obter o segundo termo, basta usar a recursão com
:
Assim, podemos tomar como termos iniciais
Passo 3
Calculando mais alguns termos vemos um padrão:
Isso sugere que o termo geral seja
Podemos reescrever a recursão, para
, como
Passo 4
Verificamos a fórmula explícita por substituição: supondo
, então
o que confirma que a forma
vale para todo
.
Passo 5
Listamos os dez primeiros termos da sequência:
Resposta
Os termos iniciais são
a recursão pode ser escrita como
e a fórmula explícita é
Os dez primeiros termos são