6.38 Esboce alguns dos modos de vibração de uma fina vara, saltando, fixada rigidamente numa extremidade.

Passo 1

O enunciado pede que se esbocem alguns modos de vibração de uma fina vara (haste/haste flexível) fixada rigidamente numa extremidade (isto é, uma extremidade engastada, a outra livre). Informação dada (implicita):
  • A vara é fina e vibra transversemente (flexão); portanto o modelo apropriado é o modelo de viga Euler–Bernoulli.
  • Condições de contorno para uma viga cantilever (fixa em x=0, livre em x=L):
    • em x=0 (extremidade engastada): deslocamento transversal =0 e inclinação =0. Em símbolos: \varphi(0)=0 e \varphi'(0)=0.
    • em x=L (extremidade livre): momento interno =0 e esforço cortante =0. Para a forma espacial \varphi(x) destas vibrações, isso traduz-se em \varphi''(L)=0 e \varphi'''(L)=0.
  • O pedido é: esboçar alguns modos (por exemplo, primeiros três modos) — isto envolve obter a forma espacial típica de \phi_n(x) e dar um desenho qualitativo de cada modo.

Passo 2

Apresentar a equação que governa (aula curta sobre o que se usa).
  • Para pequenas vibrações transversais de uma viga fina e homogênea (Euler–Bernoulli) a equação PDE é
EI\,\frac{\partial^4 y}{\partial x^4} + \rho A\,\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=0,
onde:
  • E é o módulo de Young da viga,
  • I é o momento de inércia da seção transversal,
  • \rho é a densidade do material,
  • A é a área da seção transversal,
  • y(x,t) é o deslocamento transversal.
  • Procuramos modos normais com separação de variáveis: suponha uma solução do tipo
y(x,t)=\varphi(x)\cos(\omega t)
(ou \sin, combinação linear). Substituindo na PDE e cancelando o fator temporal surge a ODE ordinária para o modo espacial:
EI\,\varphi^{(4)}(x) - \rho A \,\omega^2 \varphi(x)=0.
  • Defina k tal que
k^4=\dfrac{\rho A\,\omega^2}{EI}.
Então a ODE fica
\varphi^{(4)}(x) - k^4 \varphi(x)=0.

Passo 3

Resolver a ODE espacial (passo-a-passo, sem pular etapas).
  • A equação característica é r^4-k^4=0, com raizes r=\pm k e r=\pm i k.
  • Logo a solução geral da ODE é
\varphi(x)=C_1\operatorname{cosh}(kx)+C_2\operatorname{sinh}(kx)+C_3\cos(kx)+C_4\sin(kx),
onde C_1,C_2,C_3,C_4 são constantes determinadas pelas condições de contorno.

Passo 4

Aplicar as condições de contorno no engaste ( x=0) e simplificar constantes.
  • Em x=0:
    • \varphi(0)=0 implica
    C_1 + C_3 =0.
    • \varphi'(0)=0. Derivando \varphi'(x)=k\big(C_1\operatorname{sinh}(kx)+C_2\operatorname{cosh}(kx)-C_3\sin(kx)+C_4\cos(kx)\big). Em x=0:
    k(C_2 + C_4)=0 \quad\Rightarrow\quad C_2 + C_4 =0.
  • Podemos reescrever as constantes eliminando C_3=-C_1 e C_4=-C_2, de modo que
\varphi(x)=C_1\big(\operatorname{cosh}(kx)-\cos(kx)\big)+C_2\big(\operatorname{sinh}(kx)-\sin(kx)\big).
Isto reduz o número de constantes livres para dois: C_1 e C_2.

Passo 5

Aplicar as condições de contorno na extremidade livre ( x=L) e obter a equação característica (para k).
  • Em x=L as condições são \varphi''(L)=0 (momento nulo) e \varphi'''(L)=0 (cortante nulo).
  • Calcule \varphi''(x) e \varphi'''(x) a partir da forma reduzida e imponha-as em x=L. Esse procedimento leva a um sistema homogêneo em C_1 e C_2. Para que exista solução não-trivial é necessário que o determinante desse sistema seja zero. O resultado conhecido desse cálculo (pode-se desenvolver explicitamente as derivadas e montar o determinante) é a condição transcendental
\operatorname{cosh}(\beta)\cos(\beta)+1=0,
onde \beta=kL.
  • Portanto os valores admissíveis de \beta são as raízes dessa equação. Essas raízes definem os modos (cada raiz \beta_n corresponde a um modo n).

Passo 6

Listar as primeiras raízes e relacioná-las com as frequências (fórmula).
  • As primeiras raízes positivas de \operatorname{cosh}\beta\cos\beta+1=0 são, numericamente:
    • \beta_1\approx 1{,}87510407,
    • \beta_2\approx 4{,}69409113,
    • \beta_3\approx 7{,}85475744,
    • e assim por diante (há uma infinidade crescente).
  • Recordando que k=\beta/L e k^4=\dfrac{\rho A \,\omega^2}{EI}, obtemos a frequência angular do modo n:
\omega_n = \dfrac{\beta_n^2}{L^{2}}\sqrt{\dfrac{EI}{\rho A}}.
(Interpretação: modos mais altos têm \beta_n maiores e portanto frequências muito maiores, aproximadamente \omega_n\propto \beta_n^2.)

Passo 7

Expressão explícita da forma modal (útil para esboçar) e como normalizar/usar.
  • A forma espacial associada à raiz \beta_n pode ser escrita (tomando x adimensionalizado por L, isto é usando \xi=x/L) como
\phi_n(x)=A_n\Big[\operatorname{cosh}\!\big(\beta_n \xi\big)-\cos\!\big(\beta_n \xi\big)\Big] + B_n\Big[\operatorname{sinh}\!\big(\beta_n \xi\big)-\sin\!\big(\beta_n \xi\big)\Big],
com \xi=\dfrac{x}{L}. As constantes A_n,B_n não são ambas nulas; a razão B_n/A_n é fixada pelas condições em x=L. Pode-se obter explicitamente
\frac{B_n}{A_n}=-\frac{\operatorname{cosh}\beta_n+\cos\beta_n}{\operatorname{sinh}\beta_n+\sin\beta_n}.
  • Uma forma frequentemente usada (única, com A_n escolhido para normalizar) é
\phi_n(x)=\operatorname{cosh}\!\big(\beta_n \xi\big)-\cos\!\big(\beta_n \xi\big) -\frac{\operatorname{cosh}\beta_n+\cos\beta_n}{\operatorname{sinh}\beta_n+\sin\beta_n}\Big(\operatorname{sinh}\!\big(\beta_n \xi\big)-\sin\!\big(\beta_n \xi\big)\Big).
  • Essa função satisfaz \phi_n(0)=\varphi'_n(0)=\varphi''_n(L)=\varphi'''_n(L)=0, e descreve a curva transversal do modo n. Em prova, não é preciso decorar a forma com todos os sinais; basta saber que a solução combina \operatorname{cosh},\operatorname{sinh},\cos,\sin e que as raízes vem de \operatorname{cosh}\beta\cos\beta+1=0.

Passo 8

Como esboçar na prova — regra prática e interpretação física (aula prática).
  • Observações visuais e regra prática:
    • Modo n tem n-1 nós internos (pontos onde \phi_n(x)=0 dentro 0<x<L), além do nó na extremidade fixa x=0.
    • Modo 1 (fundamental): sem nós internos (apenas o engaste em x=0), a curva sai do zero com inclinação zero e atinge o máximo próximo da extremidade livre. É a forma “mais simples”, sem inversões de sinal.
    • Modo 2: tem um nó interno (um ponto entre 0 e L onde a vibração troca de sinal); geometria típica: uma curvatura num trecho e outra curvatura invertida no trecho próximo à ponta.
    • Modo 3: tem dois nós internos, formando três “lobos” (regiões com sinais alternados).
  • Dicas de desenho rápido para prova:
    • Desenhe a haste horizontal de x=0 (engaste) a x=L (livre).
    • Em x=0 marque que deslocamento e inclinação são zero (linha curta verticalzinha indicando engaste).
    • Para cada modo, desenhe uma curva que parte horizontalmente do engaste (tangente horizontal) e que faz as inversões de sinal necessárias: 0 inversões internas para modo 1, 1 inversão para modo 2, 2 inversões para modo 3.
    • Os extremos (antí-nodos) são mais pronunciados perto da ponta para modo 1; para modos altos há regiões de oscilação mais rápidas ao longo da vara.
  • Exemplo prático: não é obrigatório calcular posições exatas de nós na prova, mas se pedirem pode-se resolver numericamente \phi_n(\xi)=0 no intervalo \xi\in(0,1) usando a expressão da \phi_n.

Passo 9

Resumo final e incentivo (curto).
  • Concluindo: os modos são obtidos pelas raízes de \operatorname{cosh}\beta\cos\beta+1=0; as primeiras três raízes são \beta_1\approx1{,}8751, \beta_2\approx4{,}6941, \beta_3\approx7{,}8548. As formas modais combinam \operatorname{cosh},\operatorname{sinh},\cos,\sin conforme dada a expressão em \xi=x/L. Para esboçar, desenhe a curva com 0, 1 e 2 nós internos respectivamente, lembrando que no engaste a deslocamento e a inclinação são nulos.
  • Força aí — desenhar qualitativamente esses três modos na prova vale muito e mostra que entendeu o conceito. Se quiser, eu faço passo a passo um esboço em coordenadas (valores numéricos) para cada modo.

Resposta

As formas modais da viga cantilever vêm das raízes da equação característica
\operatorname{cosh}\beta\cos\beta+1=0,
com primeiras raízes
\beta_1\approx 1{,}87510407,\qquad \beta_2\approx 4{,}69409113,\qquad \beta_3\approx 7{,}85475744.
A forma espacial normalizada do modo n (com \xi=x/L) é
\phi_n(x)=\operatorname{cosh}(\beta_n\xi)-\cos(\beta_n\xi) -\frac{\operatorname{cosh}\beta_n+\cos\beta_n}{\operatorname{sinh}\beta_n+\sin\beta_n}\,\big(\operatorname{sinh}(\beta_n\xi)-\sin(\beta_n\xi)\big).
As frequências angulares são
\omega_n=\dfrac{\beta_n^2}{L^{2}}\sqrt{\dfrac{EI}{\rho A}}.
Esboços qualitativos:
Modo 1 — sem nós internos (curva única, máxima perto da ponta).
Modo 2 — um nó interno (sinal da deflexão troca uma vez).
Modo 3 — dois nós internos (duas trocas de sinal; três “lobos”).

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