6.38 Esboce alguns dos modos de vibração de uma fina vara, saltando, fixada rigidamente numa extremidade.
Passo 1
O enunciado pede que se esbocem alguns modos de vibração de uma fina vara (haste/haste flexível) fixada rigidamente numa extremidade (isto é, uma extremidade engastada, a outra livre). Informação dada (implicita):
- A vara é fina e vibra transversemente (flexão); portanto o modelo apropriado é o modelo de viga Euler–Bernoulli.
- Condições de contorno para uma viga cantilever (fixa em
, livre em ): - em
(extremidade engastada): deslocamento transversal e inclinação . Em símbolos: e . - em
(extremidade livre): momento interno e esforço cortante . Para a forma espacial destas vibrações, isso traduz-se em e .
- em
- O pedido é: esboçar alguns modos (por exemplo, primeiros três modos) — isto envolve obter a forma espacial típica de
e dar um desenho qualitativo de cada modo.
Passo 2
Apresentar a equação que governa (aula curta sobre o que se usa).
- Para pequenas vibrações transversais de uma viga fina e homogênea (Euler–Bernoulli) a equação PDE é
onde:
-
é o módulo de Young da viga, -
é o momento de inércia da seção transversal, -
é a densidade do material, -
é a área da seção transversal, -
é o deslocamento transversal. - Procuramos modos normais com separação de variáveis: suponha uma solução do tipo
(ou
, combinação linear). Substituindo na PDE e cancelando o fator temporal surge a ODE ordinária para o modo espacial:
- Defina
tal que
Então a ODE fica
Passo 3
Resolver a ODE espacial (passo-a-passo, sem pular etapas).
- A equação característica é
, com raizes e . - Logo a solução geral da ODE é
onde
são constantes determinadas pelas condições de contorno.
Passo 4
Aplicar as condições de contorno no engaste (
) e simplificar constantes.
- Em
: -
implica
-
. Derivando . Em :
-
- Podemos reescrever as constantes eliminando
e , de modo que
Isto reduz o número de constantes livres para dois:
e
.
Passo 5
Aplicar as condições de contorno na extremidade livre (
) e obter a equação característica (para
).
- Em
as condições são (momento nulo) e (cortante nulo). - Calcule
e a partir da forma reduzida e imponha-as em . Esse procedimento leva a um sistema homogêneo em e . Para que exista solução não-trivial é necessário que o determinante desse sistema seja zero. O resultado conhecido desse cálculo (pode-se desenvolver explicitamente as derivadas e montar o determinante) é a condição transcendental
onde
.
- Portanto os valores admissíveis de
são as raízes dessa equação. Essas raízes definem os modos (cada raiz corresponde a um modo ).
Passo 6
Listar as primeiras raízes e relacioná-las com as frequências (fórmula).
- As primeiras raízes positivas de
são, numericamente: -
, -
, -
, - e assim por diante (há uma infinidade crescente).
-
- Recordando que
e , obtemos a frequência angular do modo :
(Interpretação: modos mais altos têm
maiores e portanto frequências muito maiores, aproximadamente
.)
Passo 7
Expressão explícita da forma modal (útil para esboçar) e como normalizar/usar.
- A forma espacial associada à raiz
pode ser escrita (tomando adimensionalizado por , isto é usando ) como
com
. As constantes
não são ambas nulas; a razão
é fixada pelas condições em
. Pode-se obter explicitamente
- Uma forma frequentemente usada (única, com
escolhido para normalizar) é
- Essa função satisfaz
, e descreve a curva transversal do modo . Em prova, não é preciso decorar a forma com todos os sinais; basta saber que a solução combina e que as raízes vem de .
Passo 8
Como esboçar na prova — regra prática e interpretação física (aula prática).
- Observações visuais e regra prática:
- Modo
tem nós internos (pontos onde dentro ), além do nó na extremidade fixa . - Modo 1 (fundamental): sem nós internos (apenas o engaste em
), a curva sai do zero com inclinação zero e atinge o máximo próximo da extremidade livre. É a forma “mais simples”, sem inversões de sinal. - Modo 2: tem um nó interno (um ponto entre 0 e
onde a vibração troca de sinal); geometria típica: uma curvatura num trecho e outra curvatura invertida no trecho próximo à ponta. - Modo 3: tem dois nós internos, formando três “lobos” (regiões com sinais alternados).
- Modo
- Dicas de desenho rápido para prova:
- Desenhe a haste horizontal de
(engaste) a (livre). - Em
marque que deslocamento e inclinação são zero (linha curta verticalzinha indicando engaste). - Para cada modo, desenhe uma curva que parte horizontalmente do engaste (tangente horizontal) e que faz as inversões de sinal necessárias: 0 inversões internas para modo 1, 1 inversão para modo 2, 2 inversões para modo 3.
- Os extremos (antí-nodos) são mais pronunciados perto da ponta para modo 1; para modos altos há regiões de oscilação mais rápidas ao longo da vara.
- Desenhe a haste horizontal de
- Exemplo prático: não é obrigatório calcular posições exatas de nós na prova, mas se pedirem pode-se resolver numericamente
no intervalo usando a expressão da .
Passo 9
Resumo final e incentivo (curto).
- Concluindo: os modos são obtidos pelas raízes de
; as primeiras três raízes são , , . As formas modais combinam conforme dada a expressão em . Para esboçar, desenhe a curva com 0, 1 e 2 nós internos respectivamente, lembrando que no engaste a deslocamento e a inclinação são nulos. - Força aí — desenhar qualitativamente esses três modos na prova vale muito e mostra que entendeu o conceito. Se quiser, eu faço passo a passo um esboço em coordenadas (valores numéricos) para cada modo.
Resposta
As formas modais da viga cantilever vêm das raízes da equação característica
com primeiras raízes
A forma espacial normalizada do modo
(com
) é
As frequências angulares são
Esboços qualitativos:
Modo 1 — sem nós internos (curva única, máxima perto da ponta).
Modo 2 — um nó interno (sinal da deflexão troca uma vez).
Modo 3 — dois nós internos (duas trocas de sinal; três “lobos”).
Modo 1 — sem nós internos (curva única, máxima perto da ponta).
Modo 2 — um nó interno (sinal da deflexão troca uma vez).
Modo 3 — dois nós internos (duas trocas de sinal; três “lobos”).