6.36 Descreva as formas e as orientações espaciais dos cinco orbitais 3 d.

Passo 1

O enunciado pede: “Descreva as formas e as orientações espaciais dos cinco orbitais 3d.”
Informações relevantes dadas/implícitas:
  • Trata-se dos cinco orbitais com número quântico principal n=3 e número quântico azimutal l=2 (os chamados orbitais d).
  • Há exatamente cinco orbitais 3d: 3d_{xy}, 3d_{xz}, 3d_{yz}, 3d_{x^2-y^2} e 3d_{z^2}.
  • É necessário descrever a forma (quantas “folhas”/lobos, presença de toro/anel, nós angulares/radiais) e a orientação espacial (em que planos ou ao longo de quais eixos cada orbital está).

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicados devagar):
  • Os orbitais atômicos são funções de coordenadas; a forma espacial vem da parte angular das harmónicas esféricas (para l=2 temos as funções de d).
  • Números quânticos importantes aqui: n (principal), l (azimutal). Para d: l=2. O número de nós radiais é n-l-1.
    • Como n=3 e l=2, o número de nós radiais é 3-2-1=0. Ou seja, os 3d não têm nós radiais — suas características são definidas pelas superfícies angulares (nós angulares).
  • Para l=2 existem duas superfícies nodais angulares (porque l dá o número de nós angulares), que se manifestam como planos ou cones onde a função da onda é zero. Essas superfícies determinam a separação entre lobos com sinais opostos da função de onda.

Passo 3

Formas matemáticas úteis (versão cartesiana, pois ajudam visualizar):
  • As combinações reais usadas em química e visualização podem ser associadas (até um fator de normalização e dependência radial) às funções angulares proporcionais a:
    • d_{xy} \propto xy
    • d_{xz} \propto xz
    • d_{yz} \propto yz
    • d_{x^2-y^2} \propto x^2 - y^2
    • d_{z^2} \propto 2z^2 - x^2 - y^2 (às vezes escrito 3z^2 - r^2; ambas equivalem à mesma forma angular, apenas com constante).
  • Essas expressões mostram onde a função muda de sinal (quando a expressão é zero) — daí vêm as superfícies nodais.

Passo 4

Descrição detalhada do 3d_{xy}:
  • Forma: “trevo” de quatro lóbulos (quatro lóbulos aproximadamente iguais), todos localizados no plano xy. Os lóbulos ficam nos quadrantes entre os eixos x e y.
  • Orientação: os lóbulos apontam entre os eixos x e y (ou seja, em direções como x>0,y>0; x<0,y>0; etc.).
  • Nós angulares: há superfícies nodais quando x=0 e quando y=0; essas são os planos yz e xz. Em cada um desses planos a função vale zero, por isso os lóbulos ficam entre esses planos.

Passo 5

Descrição detalhada do 3d_{xz}:
  • Forma: também um “trevo” de quatro lóbulos, mas localizado no plano xz.
  • Orientação: os lóbulos ficam entre os eixos x e z (ou seja, em direções dentro do plano xz).
  • Nós angulares: superfícies nodais em x=0 (plano yz) e z=0 (plano xy). A função muda de sinal ao cruzar esses planos.

Passo 6

Descrição detalhada do 3d_{yz}:
  • Forma: trevo de quatro lóbulos no plano yz.
  • Orientação: lóbulos entre os eixos y e z.
  • Nós angulares: planos nodais em y=0 (plano xz) e z=0 (plano xy).

Passo 7

Descrição detalhada do 3d_{x^2-y^2}:
  • Forma: também quatro lóbulos (cloverleaf), mas com os lóbulos apontando ao longo dos eixos x e y (e não entre eles). Ou seja, dois lóbulos ao longo do eixo +x e -x, e dois ao longo do eixo +y e -y.
  • Orientação: lóbulos alinhados com os eixos x e y. Isso faz deste orbital importante para interações que envolvem direções ao longo desses eixos (por exemplo, ligações com substituintes sobre o eixo).
  • Nós angulares: onde x^2-y^2=0, ou seja, nos planos y= \pm x (planos que passam pela direção z e que formam ângulo de 45^\circ com os eixos x e y).

Passo 8

Descrição detalhada do 3d_{z^2} (às vezes escrito 3d_{3z^2-r^2} ou 3d_{2z^2-x^2-y^2}):
  • Forma: difere dos outros quatro. Tem dois lóbulos principais alongados ao longo do eixo z (um acima e outro abaixo da origem) e uma região de densidade em forma de anel/toro (um “donut” ou anel de carga) no plano xy ao redor do núcleo. Às vezes descrevem como “dois lóbulos ao longo de z com um anel ao redor do equador”.
  • Orientação: eixo principal é o eixo z (os dois lóbulos apontam ao longo de +z e -z); o toro fica centrado no plano xy.
  • Nós angulares: as superfícies nodais angulares não são planos simples neste caso, mas cones definidos pela condição 2z^2 - x^2 - y^2 = 0. Em coordenadas esféricas isso corresponde a ângulos \theta tais que 3\cos^2\theta -1=0, ou seja \cos\theta = \pm 1/\sqrt{3}; isso é por isso que a região anelar aparece entre os lóbulos axiais.

Passo 9

Observações úteis para a prova (truques para lembrar e para desenhar rápido):
  • Todos os 3d têm zero nós radiais (nenhum anel radial): só aparecem lóbulos e nós angulares. Isso facilita o desenho: não desenhe círculos de nó afastados do núcleo.
  • Quatro orbitais têm formato de “trevo” (quatro lóbulos): d_{xy}, d_{xz}, d_{yz}, d_{x^2-y^2}. A diferença entre eles é se os lóbulos apontam entre os eixos (caso d_{xy},d_{xz},d_{yz}) ou ao longo dos eixos ( d_{x^2-y^2}).
  • O d_{z^2} é o “esquisito”: dois lóbulos axiais + um anel toroidal no equador.
  • Para saber os planos nodais, olhe a expressão cartesiana: se a função é proporcional a xy, os nós são x=0 e y=0; se x^2-y^2, os nós são x=\pm y; se 2z^2-x^2-y^2, os nós são cones (resolver 2z^2-x^2-y^2=0).

Resposta

3d_{xy}: quatro lóbulos em forma de trevo localizados no plano xy, com lóbulos entre os eixos x e y; planos nodais em x=0 e y=0.
3d_{xz}: quatro lóbulos em forma de trevo no plano xz, com lóbulos entre os eixos x e z; planos nodais em x=0 e z=0.
3d_{yz}: quatro lóbulos em forma de trevo no plano yz, com lóbulos entre os eixos y e z; planos nodais em y=0 e z=0.
3d_{x^2-y^2}: quatro lóbulos alinhados com os eixos x e y (lóbulos ao longo de \pm x e \pm y); planos nodais em y=\pm x.
3d_{z^2}: dois lóbulos principais ao longo do eixo z e um anel/toro de densidade no plano xy (dois lóbulos axiais + toro equatorial); superfícies nodais angulares em cones definidos por 2z^2-x^2-y^2=0.

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