Ache a reta que intercepta as retas
r: \frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{2}=-\frac{z}{2} \text { e } s:\left\{\begin{array}{llc} x & =-1+5 \lambda \\\ y & =1+3 \lambda \\\ z & =\lambda \end{array}\right.
e forma ângulos congruentes com eixos coordenados.

Passo 1

O enunciado pede a reta que interseca as retas
r:\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{2}=-\frac{z}{2}
e
s:\begin{cases} x=-1+5\lambda,\\\ y=1+3\lambda,\\\ z=\lambda, \end{cases}
e que forma ângulos congruentes com os eixos coordenados. Para formar ângulos iguais com os eixos x,y,z, os cossenos diretores devem ser iguais em módulo, ou seja, a reta tem vetor diretor proporcional a
(1,1,1)\quad\text{(ou a alguma combinação de sinais)}.çã

Passo 2

Vamos parametrizar pontos genéricos em r e em s.
Um ponto P em r com parâmetro u é
P(u) = (1+3u,\;1+2u,\;-2u).
Um ponto Q em s com parâmetro v é
Q(v) = (-1+5v,\;1+3v,\;v).

Passo 3

O vetor que liga P(u) a Q(v) é
\overrightarrow{PQ} =Q(v)-P(u) =\bigl(-1+5v-(1+3u),\;1+3v-(1+2u),\;v-(-2u)\bigr)
=\bigl(-2+5v-3u,\;3v-2u,\;v+2u\bigr).
Para que essa reta seja a procurada, precisamos ter
\overrightarrow{PQ}\parallel(1,1,1),
ou seja, existem t e sinais \varepsilon_i=\pm1 tais que
-2+5v-3u = t\,\varepsilon_1,\quad 3v-2u = t\,\varepsilon_2,\quad v+2u = t\,\varepsilon_3.

Passo 4

Escolhemos a combinação mais simples \varepsilon_1=\varepsilon_2=\varepsilon_3=1, isto é,
-2+5v-3u = t, \quad 3v-2u = t, \quad v+2u = t.
Das duas últimas igualdades:
3v-2u = v+2u \;\Longrightarrow\; 2v = 4u \;\Longrightarrow\; u = \tfrac v2.
Então
t = v+2u = v+2\bigl(\tfrac v2\bigr)=2v.
Substituindo na primeira:
-2 +5v -3\bigl(\tfrac v2\bigr)=2v \;\Longrightarrow\; -2 +5v -\tfrac{3v}{2}=2v \;\Longrightarrow\; -2 +\tfrac{7v}{2}=2v \;\Longrightarrow\; \tfrac{7v}{2}-2v=2 \;\Longrightarrow\; \tfrac{3v}{2}=2 \;\Longrightarrow\; v=\tfrac43,\;u=\tfrac23.

Passo 5

Com u=\tfrac23 temos
P = \bigl(1+3\cdot\tfrac23,\;1+2\cdot\tfrac23,\;-2\cdot\tfrac23\bigr) =(3,\;\tfrac{7}{3},\;-\tfrac{4}{3}).
O vetor diretor é
\overrightarrow{PQ}=\tfrac{8}{3}(1,1,1),
logo a reta buscada passa por P e tem direção (1,1,1).

Resposta

A reta é
\frac{x-3}{1}=\frac{y-\tfrac{7}{3}}{1}=\frac{z+\tfrac{4}{3}}{1}.

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