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Seja A=[ccc1 & -1 & 0 0 & 2 & 1 3 & -7 & -2]. Defina a transformação linear T(x)=A x.
(a) T é injetora?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir se uma transformação linear definida pela matriz é injetora. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa uma transformação ser injetora e usar o determinante da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear injetora. Uma transformação é injetora se cada vetor diferente de entrada for mapeado para vetores diferentes de saída. Ou seja, se implica que . Na prática, isso significa que a única solução para é .

Passo 3

Para verificar se é injetora, vamos analisar a matriz . Uma forma eficiente de saber se a transformação é injetora é calcular o determinante de . Se o determinante for diferente de zero ( ), então é invertível e, portanto, é injetora. Se for zero, não é injetora.

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz A = 1 & -1 & 0 0 & 2 & 1 3 & -7 & -2 :
det(A) = 1 cdot (2 cdot (-2) - 1 cdot (-7)) - (-1) cdot (0 cdot (-2) - 1 cdot 3) + 0 cdot (0 cdot (-7) - 2 cdot 3)
O determinante de det(A) = 1 cdot (-4 + 7) - (-1) cdot (0 - 3) + 0 cdot (0 - 6) é dado por:
det(A) = 1 cdot 3 - (-1) cdot (-3) + 0 cdot (-6)
Vamos resolver cada parte:
det(A) = 3 - 3 + 0 = 0

Resposta

Como o determinante de é igual a zero, a transformação linear não é injetora.

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