Se T: R^3 R^4 é uma transformação linear tal que Im(T) é gerada por (5,3,2,3) e (14,9,8,9), então dim(Nuc(T))=2 ? Justifique.

Passo 1

Então, o que estamos vendo aqui é uma transformação linear . O enunciado nos diz que a imagem dessa transformação ( ) é gerada pelos vetores e . O que precisamos descobrir é se a dimensão do núcleo de ( ) é igual a 2. Para resolver isso, vamos usar o teorema fundamental da álgebra linear chamado Teorema do Núcleo e Imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, é uma função entre espaços vetoriais que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, leva vetores de para .

Passo 3

A imagem de , , é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Aqui, sabemos que essa imagem é gerada por dois vetores: e .

Passo 4

Agora, precisamos saber a dimensão da imagem. A dimensão é o número de vetores linearmente independentes que geram o espaço. Vamos verificar se os dois vetores dados são linearmente independentes.

Passo 5

Para verificar a independência, vamos ver se um dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro. Olhando para e , vemos que não existe um escalar tal que . Portanto, os vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Como os vetores são independentes, a dimensão da imagem ( ) é 2.

Passo 7

Agora, aplicamos o Teorema do Núcleo e Imagem, que diz:
dim(R^3) = dim(Im(T)) + dim(Nuc(T))
Substituindo os valores que temos:
3 = 2 + dim(Nuc(T))

Passo 8

Resolvendo para dim(Nuc(T)) = 3 - 2 = 1 :

Resposta

Não, a dimensão do núcleo de é 1.

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