Se
é uma transformação linear tal que
é gerada por
e
, então
? Justifique.
Passo 1
Então, o que estamos vendo aqui é uma transformação linear
. O enunciado nos diz que a imagem dessa transformação (
) é gerada pelos vetores
e
. O que precisamos descobrir é se a dimensão do núcleo de
(
) é igual a 2. Para resolver isso, vamos usar o teorema fundamental da álgebra linear chamado Teorema do Núcleo e Imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, é uma função entre espaços vetoriais que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso,
leva vetores de
para
.
Passo 3
A imagem de
,
, é o conjunto de todos os vetores em
que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor de
. Aqui, sabemos que essa imagem é gerada por dois vetores:
e
.
Passo 4
Agora, precisamos saber a dimensão da imagem. A dimensão é o número de vetores linearmente independentes que geram o espaço. Vamos verificar se os dois vetores dados são linearmente independentes.
Passo 5
Para verificar a independência, vamos ver se um dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro. Olhando para
e
, vemos que não existe um escalar
tal que
. Portanto, os vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Como os vetores são independentes, a dimensão da imagem (
) é 2.
Passo 7
Agora, aplicamos o Teorema do Núcleo e Imagem, que diz:
Substituindo os valores que temos:
Passo 8
Resolvendo para
:
Resposta
Não, a dimensão do núcleo de
é 1.