Resolva os sistemas lineares pelo método da substituição:
l 2 x+y-z+w=4 3 x-y+2 z-2 w=5 x+2 y+3 z-w=1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares que precisamos resolver usando o método da substituição. Sistemas lineares são conjuntos de equações onde as incógnitas aparecem apenas com expoentes de 1 e estão unidas por operações de soma e subtração.
As equações do sistema são:
l 2x + y - z + w = 4 3x - y + 2z - 2w = 5 x + 2y + 3z - w = 1
Para resolver esse sistema, vamos precisar isolar uma das variáveis em uma das equações e substituir essa expressão nas outras equações. Isso vai nos ajudar a reduzir o número de incógnitas passo a passo.

Passo 2

Vamos começar isolando uma das variáveis. Vou escolher isolar o x na terceira equação, porque o coeficiente de x nessa equação é menor, o que facilita a manipulação.
A terceira equação é:
x + 2y + 3z - w = 1
Para isolar o x, vamos mover os outros termos para o outro lado da equação:
x = 1 - 2y - 3z + w

Passo 3

Agora que temos o x expresso em termos das outras variáveis, vamos substituir essa expressão nas outras duas equações do sistema. Isso vai nos ajudar a reduzir o número de variáveis nessas equações.
Primeira equação:
2x + y - z + w = 4
Substituindo x pela expressão que encontramos:
2(1 - 2y - 3z + w) + y - z + w = 4

Passo 4

Vamos expandir a expressão:
2 - 4y - 6z + 2w + y - z + w = 4
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
  • y: -3y -7z +3w + 2 = 4
  • z:
  • w:
  • Constante:
Isso nos dá:

Passo 5

Vamos isolar os termos constantes. Subtraindo 2 de ambos os lados:
-3y -7z +3w = 2
Essa é a equação simplificada resultante da substituição na primeira equação.

Passo 6

Agora, vamos fazer a mesma substituição na segunda equação do sistema original:
3x - y + 2z -2w = 5
Substituindo x:
3(1 - 2y - 3z + w) - y + 2z -2w = 5

Passo 7

Explicando isso passo a passo:
3 -6y -9z +3w - y +2z -2w =5
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
  • y: -7y -7z +w +3 =5
  • z:
  • w:
  • Constante:
Então, a equação fica:

Passo 8

Isolando os termos constantes, subtraindo 3 de ambos os lados:
-7y -7z +w =2
Agora, temos duas equações simplificadas:

Passo 9

Vamos resolver esse sistema de duas equações para encontrar outra variável. Vou isolar w na segunda equação:
-7y -7z +w =2
Isolando w:
w = 2 +7y +7z

Passo 10

Com a expressão de w, vamos substituir essa no primeiro sistema reduzido:
-3y -7z +3w =2
Substituindo w:
-3y -7z +3(2 +7y +7z) =2

Passo 11

Expandindo:
-3y -7z +6 +21y +21z =2
Agora, combinando os termos semelhantes:
  • y: 18y +14z +6 =2
  • z:
  • Constante:
Assim, a equação fica:

Passo 12

Vamos isolar os termos constantes, subtraindo 6 de ambos os lados:
18y +14z = -4
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 2:
9y +7z = -2

Passo 13

Agora, vamos isolar uma das variáveis, por exemplo, y:
9y = -2 -7z
Dividindo ambos os lados por 9:
y = -29 - 79z

Passo 14

Com y expresso em termos de z, podemos encontrar as expressões para as outras variáveis.
Lembrando a expressão de w:
w =2 +7y +7z
Substituindo y:
w =2 +7(-29 - 79z ) +7z
Simplificando:
w =2 -149 - 499z +7z
Convertendo 2 para novenos:
w =189 - 149 - 499z + 639z =49 + 149z

Passo 15

Agora, voltando à expressão de x:
x =1 -2y -3z +w
Substituindo y e w:
x =1 -2( -29 - 79z ) -3z +( 49 + 149z )
Simplificando:
x =1 + 49 + 149z -3z + 49 + 149z
Somando os termos:
x =179 + 19z

Passo 16

Então, resumindo todas as expressões:
l x = dfrac179 + dfrac19z y = -dfrac29 - dfrac79z w = dfrac49 + dfrac149z z é um parâmetro livre éâ

Resposta

As soluções do sistema são:
l x = dfrac179 + dfrac19z y = -dfrac29 - dfrac79z w = dfrac49 + dfrac149z z é um parâmetro livre éâ
Isso significa que para qualquer valor escolhido para z, podemos determinar os valores correspondentes de x, y e w que satisfazem todas as equações do sistema.

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