Considere as seguintes T. lineares:
  1. T1: R^3 R^3 definida por T1(x, y, z)=(3 x,-2 y, x-y).
  2. T2: R^3 R^2 definida por T2(x, y, z)=(x-z, 2 x+y+3 z).
  3. T3: R^3 R^3 definida por T3(x, y, z)=(x, y,-z).
    Calcule o que se pede:
    (d) T2 circ T3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o item (d) que pede para calcular a composição das transformações lineares e , ou seja, . Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares entre espaços vetoriais, especificamente de para . Para isso, vamos precisar entender como aplicar uma transformação dentro da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a transformação T3(x, y, z) = (x, y, -z) . Ela é definida por:
Isso significa que, dado um vetor em , simplesmente inverte o sinal da terceira coordenada.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformação T2(u, v, w) = (u - w, 2u + v + 3w) ao resultado de . A transformação é dada por:
Aqui, substituímos pelos componentes resultantes de , ou seja, , e .

Passo 4

Vamos fazer as substituições na fórmula de T2(T3(x, y, z)) = T2(x, y, -z) = (x - (-z), 2x + y + 3(-z)) :
(x + z, 2x + y - 3z)
Simplificando os termos:

Resposta

A composição T2 circ T3(x, y, z) = (x + z, 2x + y - 3z) é dada por:

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