A outra desigualdade 1-x^{2}\le1 é sempre verdadeira. Logo o domínio de f é
\bigl[-\sqrt{2},\sqrt{2}\bigr].
Passo 3
Lembrar a regra da cadeia e a derivada do arco-seno (aqui explico devagarinho):
Se F(t)=\operatorname{sen}^{-1}(t), então para |t|<1 vale a fórmula conhecida
F'(t)=\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}.
Isto significa: para variar um pouco t, a taxa de variação de \operatorname{sen}^{-1}(t) é \dfrac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}. Atenção: essa fórmula exige 1-t^{2}>0; nos pontos t=\pm1 o denominador é zero e a derivada da função externa explode (não existe finita).
A função interna é g(x)=1-x^{2}. Sua derivada é simples: derivando termo a termo,
g'(x)=-2x.
A regra da cadeia diz que, quando f(x)=F(g(x)), então (onde tudo estiver definido)
Para x=0 a expressão original dá denominador zero (porque \sqrt{x^{2}(2-x^{2})}=0), então não se pode substituir diretamente. Devemos verificar se a derivada em x=0 existe calculando os limites laterais:
Mais rápido: olhar a expressão simplificada para f'(x) quando x\ne0. Para x\to0^{+} temos f'(x)\to -\dfrac{2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}. Para x\to0^{-} temos f'(x)\to \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}. Como os limites lateral direito e esquerdo são diferentes, a derivada em x=0 não existe.
Nos extremos x=\pm\sqrt{2} o fator \sqrt{2-x^{2}} fica zero, enquanto o numerador -2x é não nulo, logo o quociente diverge; portanto a derivada também não existe em x=\pm\sqrt{2}.
Conclusão: a derivada existe exatamente em (-\sqrt{2},0)\cup(0,\sqrt{2}) e tem as expressões acima.
Passo 6
Apresentar a forma compacta e uma alternativa elegante:
Exemplo numérico rápido para ganhar confiança: em x=1 (que está no domínio e em (0,\sqrt{2})),
f'(1)=-\frac{2}{\sqrt{2-1}}=-2.
Isso bate se calcular direto.
Força aí — a parte mais sutil foi lidar com o |x| e checar x=0 e as bordas; essa estratégia (aplicar cadeia, simplificar e separar casos) funciona sempre em compostos com raízes/valores absolutos.]