3.3 Calcula as derivadas, assumindo que a derivada da função está definida no seu domínio máximo.
f(x)=\operatorname{sen}{-1}\left(1-x{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\operatorname{sen}^{-1}\!\bigl(1-x^{2}\bigr)
e pede para calcular a derivada, assumindo que a derivada existe no seu domínio máximo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função externa é \operatorname{sen}^{-1} (arco-seno) aplicada ao argumento 1-x^{2}.
  • O argumento é a função g(x)=1-x^{2}.
  • Preciso fornecer a expressão da derivada e indicar onde ela existe (domínio da derivada).

Passo 2

Determinar o domínio da função antes de derivar (porque \operatorname{sen}^{-1}(t) só está definida para -1\le t\le1). Exigimos
-1 \le 1-x^{2} \le 1.
Resolver as desigualdades:
-1 \le 1-x^{2} \Longrightarrow -2 \le -x^{2} \Longrightarrow x^{2} \le 2 \Longrightarrow -\sqrt{2}\le x\le\sqrt{2}.
A outra desigualdade 1-x^{2}\le1 é sempre verdadeira. Logo o domínio de f é
\bigl[-\sqrt{2},\sqrt{2}\bigr].

Passo 3

Lembrar a regra da cadeia e a derivada do arco-seno (aqui explico devagarinho):
  • Se F(t)=\operatorname{sen}^{-1}(t), então para |t|<1 vale a fórmula conhecida
F'(t)=\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}.
Isto significa: para variar um pouco t, a taxa de variação de \operatorname{sen}^{-1}(t) é \dfrac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}. Atenção: essa fórmula exige 1-t^{2}>0; nos pontos t=\pm1 o denominador é zero e a derivada da função externa explode (não existe finita).
  • A função interna é g(x)=1-x^{2}. Sua derivada é simples: derivando termo a termo,
g'(x)=-2x.
A regra da cadeia diz que, quando f(x)=F(g(x)), então (onde tudo estiver definido)
f'(x)=F'(g(x))\cdot g'(x).

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia ao nosso caso:
f'(x)=\frac{g'(x)}{\sqrt{1-\bigl(g(x)\bigr)^{2}}} =\frac{-2x}{\sqrt{\,1-(1-x^{2})^{2}\,}}.
Agora simplificamos o radicando passo a passo:
1-(1-x^{2})^{2}=1-\bigl(1-2x^{2}+x^{4}\bigr)=1-1+2x^{2}-x^{4}=2x^{2}-x^{4}=x^{2}\bigl(2-x^{2}\bigr).
Portanto o denominador é
\sqrt{x^{2}\bigl(2-x^{2}\bigr)}=\sqrt{x^{2}}\;\sqrt{2-x^{2}}=|x|\sqrt{2-x^{2}}.
Substituindo de volta:
f'(x)=\frac{-2x}{|x|\sqrt{2-x^{2}}}.

Passo 5

Tratar os casos com cuidado por causa do valor absoluto |x| e dos pontos onde o denominador pode anular-se.
  • Para x>0 temos |x|=x, então
f'(x)=\frac{-2x}{x\sqrt{2-x^{2}}}=-\frac{2}{\sqrt{2-x^{2}}},\qquad x\in(0,\sqrt{2}).
  • Para x<0 temos |x|=-x, então
f'(x)=\frac{-2x}{(-x)\sqrt{2-x^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{2-x^{2}}},\qquad x\in(-\sqrt{2},0).
  • Para x=0 a expressão original dá denominador zero (porque \sqrt{x^{2}(2-x^{2})}=0), então não se pode substituir diretamente. Devemos verificar se a derivada em x=0 existe calculando os limites laterais:
\lim_{h\to0^{+}}\frac{f(h)-f(0)}{h} \quad\text{e}\quad \lim_{h\to0^{-}}\frac{f(h)-f(0)}{h}.
Mais rápido: olhar a expressão simplificada para f'(x) quando x\ne0. Para x\to0^{+} temos f'(x)\to -\dfrac{2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}. Para x\to0^{-} temos f'(x)\to \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}. Como os limites lateral direito e esquerdo são diferentes, a derivada em x=0 não existe.
  • Nos extremos x=\pm\sqrt{2} o fator \sqrt{2-x^{2}} fica zero, enquanto o numerador -2x é não nulo, logo o quociente diverge; portanto a derivada também não existe em x=\pm\sqrt{2}.
Conclusão: a derivada existe exatamente em (-\sqrt{2},0)\cup(0,\sqrt{2}) e tem as expressões acima.

Passo 6

Apresentar a forma compacta e uma alternativa elegante:
  • Forma por casos (mais clara na prova):
f'(x)=\begin{cases} \displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{2-x^{2}}}, & x\in(-\sqrt{2},0),\\[8pt] \displaystyle -\dfrac{2}{\sqrt{2-x^{2}}}, & x\in(0,\sqrt{2}). \end{cases}
  • Forma compacta usando a função sinal \operatorname{sgn}(x) (definida por \operatorname{sgn}(x)=1 se x>0, \operatorname{sgn}(x)=-1 se x<0) para x\ne0:
f'(x)=-\frac{2\,\operatorname{sgn}(x)}{\sqrt{2-x^{2}}},\qquad x\in(-\sqrt{2},0)\cup(0,\sqrt{2}).
Exemplo numérico rápido para ganhar confiança: em x=1 (que está no domínio e em (0,\sqrt{2})),
f'(1)=-\frac{2}{\sqrt{2-1}}=-2.
Isso bate se calcular direto.
Força aí — a parte mais sutil foi lidar com o |x| e checar x=0 e as bordas; essa estratégia (aplicar cadeia, simplificar e separar casos) funciona sempre em compostos com raízes/valores absolutos.]

Resposta

f'(x)=\begin{cases} \displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{2-x^{2}}}, & x\in(-\sqrt{2},0),\\[8pt] \displaystyle -\dfrac{2}{\sqrt{2-x^{2}}}, & x\in(0,\sqrt{2}),\\[4pt] \text{não existe}, & x\in\{-\sqrt{2},0,\sqrt{2}\}. \end{cases}ã]

Exercícios relacionados