Mostre que a série harmônica \sum \frac{1}{n} é divergente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é divergente. O conteúdo principal aqui é séries numéricas e usaremos o teste de comparação por agrupamento, em que vamos agrupar os termos em blocos cujas somas podemos estimar por baixo e, assim, comparar com uma série que sabemos divergir.

Passo 2

Escrevemos a série agrupando os termos em blocos de tamanho crescente, baseado em potências de dois:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} =1+\frac{1}{2} +\bigl(\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}\bigr) +\bigl(\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{7}+\tfrac{1}{8}\bigr) +\cdots.

Passo 3

Para ver o comportamento geral, considere o k-ésimo bloco, que vai de n=2^{k-1}+1 até n=2^k. Nesse intervalo cada termo satisfaz
\frac{1}{n}\ge\frac{1}{2^k} \quad\text{para }n=2^{k-1}+1,\dots,2^k.
Como há 2^k-(2^{k-1}+1)+1=2^{k-1} termos nesse bloco, sua soma satisfaz
\sum_{n=2^{k-1}+1}^{2^k}\frac{1}{n} \;\ge\;\sum_{n=2^{k-1}+1}^{2^k}\frac{1}{2^k} =\frac{2^{k-1}}{2^k} =\frac{1}{2}.

Passo 4

Seja S_{2^m} a soma parcial até n=2^m. Untindo os resultados acima, temos
S_{2^m} =1+\frac12 +\sum_{k=2}^{m}\sum_{n=2^{k-1}+1}^{2^k}\frac{1}{n} \;\ge\;1+\frac12+(m-1)\cdot\frac12 =1+\frac{m}{2}.
Como m\to\infty faz 1+\tfrac{m}{2}\to\infty, segue que S_{2^m}\to\infty e, portanto, a série não converge.

Resposta

A série harmônica \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} é divergente.

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