Mostre que a série harmônica
é divergente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série harmônica
é divergente. O conteúdo principal aqui é séries numéricas e usaremos o teste de comparação por agrupamento, em que vamos agrupar os termos em blocos cujas somas podemos estimar por baixo e, assim, comparar com uma série que sabemos divergir.
Passo 2
Escrevemos a série agrupando os termos em blocos de tamanho crescente, baseado em potências de dois:
Passo 3
Para ver o comportamento geral, considere o
-ésimo bloco, que vai de
até
. Nesse intervalo cada termo satisfaz
Como há
termos nesse bloco, sua soma satisfaz
Passo 4
Seja
a soma parcial até
. Untindo os resultados acima, temos
Como
faz
, segue que
e, portanto, a série não converge.
Resposta
A série harmônica
é divergente.