3.38 A superfície interna de uma esfera oca de raio r=r_{i} está sujeita a um fluxo uniforme de calor q, W / \mathrm{m}^{2}, e a superficie externa de raio r=r_{0} é conservada na temperatura zero. Não há geração de calor no interior da esfera, e a condutividade térmica k é constante. Desenvolva a expressão da distribuição de temperatura estacionária T(r) dentro da esfera e a da temperatura na superfície interna.
Se os raios interno e externo forem r_{i}=4 \mathrm{e} r_{o}=8 \mathrm{~cm}, respectivamente, e a condutividade for k=50 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} { }^{\circ} \mathrm{C} ), determine o fluxo de calor q, na superfície interna necessário para manter a superfície interna a 100^{\circ} \mathrm{C}, enquanto a superficie externa está a 0^{\circ} \mathrm{C}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
A casca esférica tem raio interno r=r_i e raio externo r=r_o.
A superfície interna (em r=r_i) está submetida a um fluxo de calor uniforme de magnitude q (unidade \mathrm{W}/\mathrm{m}^2).
A superfície externa (em r=r_o) é mantida na temperatura zero: T(r_o)=0.
Não há geração interna de calor no volume da casca.
A condutividade térmica é constante: k= constante.
O enunciado pede:
Desenvolver a expressão da distribuição de temperatura estacionária T(r) dentro da casca esférica e também a expressão para a temperatura na superfície interna T(r_i).
Para os valores r_i=4\\ \text{cm}, r_o=8\\ \text{cm}, k=50\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}) e desejando T(r_i)=100^\circ\mathrm{C}, determinar o valor do fluxo q necessário.
Passo 2
Esquema físico e equação diferencial governante.
Como o problema tem simetria esférica (a temperatura depende só de r), o balanço de energia no regime estacionário, sem geração interna e com k constante, leva à forma conhecida da equação de condução radial em coordenadas esféricas:
\dfrac{dT}{dr} é o gradiente radial de temperatura.
k é a condutividade térmica (constante).
O operador \dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{d}{dr}\big(r^{2}\cdot\big) aparece por causa da divergência do fluxo em coordenadas esféricas.
Como k é constante, podemos simplificar:
\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dT}{dr}\right)=0.
Passo 3
Integração da equação diferencial para achar a forma geral de T(r).
Integrando uma vez:
r^{2}\frac{dT}{dr}=C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração. Física: C_1 está relacionada ao fluxo radial multiplicado por r^2 (ou seja, ao transporte de potência através de uma superfície esférica).
Isolando o gradiente:
\frac{dT}{dr}=\frac{C_{1}}{r^{2}}.
Integrando novamente:
T(r)= -\frac{C_{1}}{r}+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Portanto a forma geral é do tipo T(r)=C_{2}-C_{1}/r.
Passo 4
Aplicação da condição na superfície externa r=r_o.
A condição dada: T(r_o)=0. Substituindo na expressão geral:
Agora falta determinar C_{1} a partir da condição na superfície interna.
Passo 5
Aplicação da condição de fluxo na superfície interna r=r_i.
A lei de Fourier para o fluxo radial (convecção nula aqui, fluxo condutivo) é
q_r(r) = -k\frac{dT}{dr}.
Interpretação do enunciado: o valor q é o fluxo de calor na superfície interna direcionado para fora (fluxo que entra no material pela superfície interna). Assim, no nosso sistema, no instante estacionário:
q_r(r_i)=q.
Usando \dfrac{dT}{dr}=\dfrac{C_1}{r^2} e avaliando em r=r_i:
Esta é a distribuição estacionária de temperatura no material para r_i\le r\le r_o. Observação física: como 1/r>1/r_o para r<r_o, T(r) é positivo (se q>0) e decresce quando r aumenta até r_o onde T=0.
A temperatura na superfície interna (r=r_i) é obtida trocando r=r_i:
Breve verificação física e comentário final (rápido).
Verificação: com q>0 a expressão T(r)=\dfrac{q r_i^2}{k}\big(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{r_o}\big) dá T(r_i)>0 e T(r_o)=0, compatível com o enunciado.
Observação prática: o fluxo numérico calculado é alto (centenas de kW por m²), o que indica que, para manter 100°C com a superfície externa a 0°C e paredes tão finas, é preciso um fluxo considerável.