3.38 A superfície interna de uma esfera oca de raio r=r_{i} está sujeita a um fluxo uniforme de calor q, W / \mathrm{m}^{2}, e a superficie externa de raio r=r_{0} é conservada na temperatura zero. Não há geração de calor no interior da esfera, e a condutividade térmica k é constante. Desenvolva a expressão da distribuição de temperatura estacionária T(r) dentro da esfera e a da temperatura na superfície interna.
Se os raios interno e externo forem r_{i}=4 \mathrm{e} r_{o}=8 \mathrm{~cm}, respectivamente, e a condutividade for k=50 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} { }^{\circ} \mathrm{C} ), determine o fluxo de calor q, na superfície interna necessário para manter a superfície interna a 100^{\circ} \mathrm{C}, enquanto a superficie externa está a 0^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A casca esférica tem raio interno r=r_i e raio externo r=r_o.
    • A superfície interna (em r=r_i) está submetida a um fluxo de calor uniforme de magnitude q (unidade \mathrm{W}/\mathrm{m}^2).
    • A superfície externa (em r=r_o) é mantida na temperatura zero: T(r_o)=0.
    • Não há geração interna de calor no volume da casca.
    • A condutividade térmica é constante: k= constante.
  • O enunciado pede:
    1. Desenvolver a expressão da distribuição de temperatura estacionária T(r) dentro da casca esférica e também a expressão para a temperatura na superfície interna T(r_i).
    2. Para os valores r_i=4\\ \text{cm}, r_o=8\\ \text{cm}, k=50\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}) e desejando T(r_i)=100^\circ\mathrm{C}, determinar o valor do fluxo q necessário.

Passo 2

Esquema físico e equação diferencial governante.
  • Como o problema tem simetria esférica (a temperatura depende só de r), o balanço de energia no regime estacionário, sem geração interna e com k constante, leva à forma conhecida da equação de condução radial em coordenadas esféricas:
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}k\frac{dT}{dr}\right)=0.
  • Explicando cada termo:
    • T(r) é a temperatura que queremos.
    • \dfrac{dT}{dr} é o gradiente radial de temperatura.
    • k é a condutividade térmica (constante).
    • O operador \dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{d}{dr}\big(r^{2}\cdot\big) aparece por causa da divergência do fluxo em coordenadas esféricas.
  • Como k é constante, podemos simplificar:
\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dT}{dr}\right)=0.

Passo 3

Integração da equação diferencial para achar a forma geral de T(r).
  • Integrando uma vez:
r^{2}\frac{dT}{dr}=C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração. Física: C_1 está relacionada ao fluxo radial multiplicado por r^2 (ou seja, ao transporte de potência através de uma superfície esférica).
  • Isolando o gradiente:
\frac{dT}{dr}=\frac{C_{1}}{r^{2}}.
  • Integrando novamente:
T(r)= -\frac{C_{1}}{r}+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Portanto a forma geral é do tipo T(r)=C_{2}-C_{1}/r.

Passo 4

Aplicação da condição na superfície externa r=r_o.
  • A condição dada: T(r_o)=0. Substituindo na expressão geral:
0 = C_{2}-\frac{C_{1}}{r_{o}} \quad\Rightarrow\quad C_{2}=\frac{C_{1}}{r_{o}}.
  • Substituindo C_{2} na solução geral:
T(r)=\frac{C_{1}}{r_{o}}-\frac{C_{1}}{r}=C_{1}\!\left(\frac{1}{r_{o}}-\frac{1}{r}\right).
Agora falta determinar C_{1} a partir da condição na superfície interna.

Passo 5

Aplicação da condição de fluxo na superfície interna r=r_i.
  • A lei de Fourier para o fluxo radial (convecção nula aqui, fluxo condutivo) é
q_r(r) = -k\frac{dT}{dr}.
  • Interpretação do enunciado: o valor q é o fluxo de calor na superfície interna direcionado para fora (fluxo que entra no material pela superfície interna). Assim, no nosso sistema, no instante estacionário:
q_r(r_i)=q.
  • Usando \dfrac{dT}{dr}=\dfrac{C_1}{r^2} e avaliando em r=r_i:
q = q_r(r_i) = -k\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r_i} = -k\frac{C_{1}}{r_{i}^{2}}.
  • Logo isolamos C_{1}:
C_{1}=-\frac{q\,r_{i}^{2}}{k}.

Passo 6

Expressão final de T(r) e da temperatura na superfície interna T(r_i) em termos de q, r_i, r_o, k.
  • Substituindo C_{1} em T(r)=C_{1}\!\left(\dfrac{1}{r_{o}}-\dfrac{1}{r}\right):
T(r)= -\frac{q\,r_{i}^{2}}{k}\left(\frac{1}{r_{o}}-\frac{1}{r}\right) = \frac{q\,r_{i}^{2}}{k}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_{o}}\right).
  • Esta é a distribuição estacionária de temperatura no material para r_i\le r\le r_o. Observação física: como 1/r>1/r_o para r<r_o, T(r) é positivo (se q>0) e decresce quando r aumenta até r_o onde T=0.
  • A temperatura na superfície interna ( r=r_i) é obtida trocando r=r_i:
T(r_i)=\frac{q\,r_{i}^{2}}{k}\left(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_o}\right) = \frac{q\,r_i}{k}\left(1-\frac{r_i}{r_o}\right).

Passo 7

Determinar q para os valores numéricos pedidos, dado que T(r_i)=100^\circ\mathrm{C}.
  • Dados numéricos (converter para unidades do SI):
    • r_i=4\\ \text{cm}=0{,}04\\ \mathrm{m}.
    • r_o=8\\ \text{cm}=0{,}08\\ \mathrm{m}.
    • k=50\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}).
    • Desejamos T(r_i)=100^\circ\mathrm{C}.
  • Usando a fórmula de T(r_i):
T(r_i)=\frac{q\,r_i}{k}\left(1-\frac{r_i}{r_o}\right).
  • Isolando q:
q=\frac{k\,T(r_i)}{r_i\left(1-\dfrac{r_i}{r_o}\right)}.
  • Agora calcular passo a passo os valores:
    • Primeiro \dfrac{r_i}{r_o}=\dfrac{0{,}04}{0{,}08}=0{,}5.
    • Então 1-\dfrac{r_i}{r_o}=1-0{,}5=0{,}5.
    • Multiplicando r_i\left(1-\dfrac{r_i}{r_o}\right)=0{,}04\times0{,}5=0{,}02\\ \mathrm{m}.
    • Numerador k\,T(r_i)=50\times100=5000\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}.
    • Finalmente
q=\frac{5000}{0{,}02}=250\,000\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}=2{,}5\times10^{5}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.

Passo 8

Breve verificação física e comentário final (rápido).
  • Verificação: com q>0 a expressão T(r)=\dfrac{q r_i^2}{k}\big(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{r_o}\big) T(r_i)>0 e T(r_o)=0, compatível com o enunciado.
  • Observação prática: o fluxo numérico calculado é alto (centenas de kW por m²), o que indica que, para manter 100°C com a superfície externa a 0°C e paredes tão finas, é preciso um fluxo considerável.

Resposta

T(r)=\frac{q\,r_{i}^{2}}{k}\!\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_{o}}\right),\qquad T(r_i)=\frac{q\,r_i}{k}\!\left(1-\frac{r_i}{r_o}\right)
q=2{,}5\times10^{5}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}

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