Deduza a expressão da distribuição de temperatura estacionária
em uma esfera maciça de raio
na qual se gera calor a uma taxa
onde
é constante e a superfície em
é mantida a uma temperatura uniforme
.
Passo 1
O enunciado pede a distribuição de temperatura estacionária
em uma esfera maciça de raio
com geração volumétrica de calor radialmente dependente
onde
é constante. A superfície externa em
é mantida à temperatura uniforme
. Informações e hipóteses relevantes que vamos usar (peguei a função
e a condição de contorno do enunciado):
- Raio da esfera:
. - Geração volumétrica:
(unidade ). - Temperatura na superfície:
. - Assumirei que a condutividade térmica
é constante e isotrópica (o enunciado não especificou , portanto a solução será dada em função de ). - Procuramos a solução estacionária (tempo independente) com simetria radial, i.e.
apenas.
Não resolvo ainda; apenas deixei claro o que é pedido e os dados.
Passo 2
Escrevendo a equação governante e explicando cada termo.
Para estado estacionário com condução e geração volumétrica, o balanço de energia (equação de calor estacionária) em volume diferencial é
onde:
-
é a temperatura (K), -
é a condutividade térmica (W/m·K), suposta constante, -
é a geração volumétrica de calor (W/m ).
Se
é constante, isso fica
Como a situação tem simetria esférica (temperatura depende só de
), o Laplaciano em coordenadas esféricas reduz-se a
Portanto a equação diferencial ordinária radial é
Passo 3
Substituo a expressão de
dada:
Dividindo por
e isolando a derivada, escrevo
Esta é uma ODE de segunda ordem em
. Vou integrá-la passo a passo.
Passo 4
Integração da primeira ordem (multiplico por
e integro):
Integro em relação a
:
onde
é constante de integração. Calculando as integrais:
portanto
Dividindo por
obtemos a derivada:
Agora aplico a condição física no centro da esfera: a solução deve ser finita em
e, por simetria, a derivada radial em
deve ser zero (
não pode ser singular). A presença do termo
seria singular em
a menos que
. Logo, para obter solução física regular no centro:
Assim
Passo 5
Integração final para obter
. Integro
em
:
onde
é outra constante de integração. Calculando:
logo
Passo 6
Determino
aplicando a condição de contorno
. Substituo
:
Simplificando o parêntese:
, então
Portanto
logo
Substituindo
na expressão de
obtenho a solução completa.
Passo 7
Escrevo a expressão final de
e simplifico os termos:
Fatorando
fica uma forma compacta:
Observações físicas rápidas (úteis na prova): a temperatura no centro é
portanto o centro fica mais quente que a superfície; por simetria
.