Deduza a expressão da distribuição de temperatura estacionária T(r) em uma esfera maciça de raio r=b na qual se gera calor a uma taxa
g(r)=g_{0}\left(1-\frac{r}{b}\right) \quad \mathrm{W} / \mathrm{m}^{3}
onde g_{0} é constante e a superfície em r=b é mantida a uma temperatura uniforme T_{0}.

Passo 1

O enunciado pede a distribuição de temperatura estacionária T(r) em uma esfera maciça de raio b com geração volumétrica de calor radialmente dependente
g(r)=g_{0}\left(1-\frac{r}{b}\right),
onde g_{0} é constante. A superfície externa em r=b é mantida à temperatura uniforme T_{0}. Informações e hipóteses relevantes que vamos usar (peguei a função g(r) e a condição de contorno do enunciado):
  • Raio da esfera: b.
  • Geração volumétrica: g(r)=g_{0}\bigl(1-\dfrac{r}{b}\bigr) (unidade \mathrm{W}/\mathrm{m}^3).
  • Temperatura na superfície: T(b)=T_{0}.
  • Assumirei que a condutividade térmica k é constante e isotrópica (o enunciado não especificou k, portanto a solução será dada em função de k).
  • Procuramos a solução estacionária (tempo independente) com simetria radial, i.e. T=T(r) apenas.
    Não resolvo ainda; apenas deixei claro o que é pedido e os dados.

Passo 2

Escrevendo a equação governante e explicando cada termo.
Para estado estacionário com condução e geração volumétrica, o balanço de energia (equação de calor estacionária) em volume diferencial é
\nabla\cdot\bigl(-k\nabla T\bigr)+g(r)=0,
onde:
  • T=T(r) é a temperatura (K),
  • k é a condutividade térmica (W/m·K), suposta constante,
  • g(r) é a geração volumétrica de calor (W/m ^3).
Se k é constante, isso fica
k\nabla^{2}T + g(r)=0.
Como a situação tem simetria esférica (temperatura depende só de r), o Laplaciano em coordenadas esféricas reduz-se a
\nabla^{2}T=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dT}{dr}\right).
Portanto a equação diferencial ordinária radial é
k\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dT}{dr}\right) + g(r)=0.

Passo 3

Substituo a expressão de g(r) dada:
k\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dT}{dr}\right) + g_{0}\left(1-\frac{r}{b}\right)=0.
Dividindo por k e isolando a derivada, escrevo
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dT}{dr}\right) = -\frac{g_{0}}{k}\left(1-\frac{r}{b}\right).
Esta é uma ODE de segunda ordem em T(r). Vou integrá-la passo a passo.

Passo 4

Integração da primeira ordem (multiplico por r^{2} e integro):
\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dT}{dr}\right) = -\frac{g_{0}}{k}\left(r^{2}-\frac{r^{3}}{b}\right).
Integro em relação a r:
r^{2}\frac{dT}{dr} = -\frac{g_{0}}{k}\left(\int r^{2}\,dr - \frac{1}{b}\int r^{3}\,dr\right) + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Calculando as integrais:
\int r^{2}\,dr=\frac{r^{3}}{3},\qquad \int r^{3}\,dr=\frac{r^{4}}{4},
portanto
r^{2}\frac{dT}{dr} = -\frac{g_{0}}{k}\left(\frac{r^{3}}{3}-\frac{r^{4}}{4b}\right) + C_{1}.
Dividindo por r^{2} obtemos a derivada:
\frac{dT}{dr} = -\frac{g_{0}}{k}\left(\frac{r}{3}-\frac{r^{2}}{4b}\right) + \frac{C_{1}}{r^{2}}.
Agora aplico a condição física no centro da esfera: a solução deve ser finita em r=0 e, por simetria, a derivada radial em r=0 deve ser zero ( dT/dr não pode ser singular). A presença do termo \dfrac{C_{1}}{r^{2}} seria singular em r=0 a menos que C_{1}=0. Logo, para obter solução física regular no centro:
C_{1}=0.
Assim
\frac{dT}{dr} = -\frac{g_{0}}{k}\left(\frac{r}{3}-\frac{r^{2}}{4b}\right).

Passo 5

Integração final para obter T(r). Integro \dfrac{dT}{dr} em r:
T(r)= -\frac{g_{0}}{k}\left(\int\frac{r}{3}\,dr - \int\frac{r^{2}}{4b}\,dr\right) + C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Calculando:
\int\frac{r}{3}\,dr=\frac{r^{2}}{6},\qquad \int\frac{r^{2}}{4b}\,dr=\frac{r^{3}}{12b},
logo
T(r)= -\frac{g_{0}}{k}\left(\frac{r^{2}}{6}-\frac{r^{3}}{12b}\right) + C_{2}.

Passo 6

Determino C_{2} aplicando a condição de contorno T(b)=T_{0}. Substituo r=b:
T_{0}= -\frac{g_{0}}{k}\left(\frac{b^{2}}{6}-\frac{b^{3}}{12b}\right) + C_{2}.
Simplificando o parêntese: \dfrac{b^{3}}{12b}=\dfrac{b^{2}}{12}, então
\frac{b^{2}}{6}-\frac{b^{2}}{12}=\frac{b^{2}}{12}.
Portanto
T_{0}= -\frac{g_{0}}{k}\cdot\frac{b^{2}}{12} + C_{2},
logo
C_{2}= T_{0} + \frac{g_{0}b^{2}}{12k}.
Substituindo C_{2} na expressão de T(r) obtenho a solução completa.

Passo 7

Escrevo a expressão final de T(r) e simplifico os termos:
T(r)= T_{0} + \frac{g_{0}b^{2}}{12k} \;-\; \frac{g_{0}}{k}\left(\frac{r^{2}}{6}-\frac{r^{3}}{12b}\right).
Fatorando \dfrac{g_{0}}{12k} fica uma forma compacta:
T(r)= T_{0} + \frac{g_{0}}{12k}\left(b^{2}-2r^{2}+\frac{r^{3}}{b}\right).
Observações físicas rápidas (úteis na prova): a temperatura no centro é
T(0)=T_{0}+\frac{g_{0}b^{2}}{12k},
portanto o centro fica mais quente que a superfície; por simetria dT/dr(0)=0.

Resposta

T(r)=T_{0}+\frac{g_{0}}{12k}\left(b^{2}-2r^{2}+\frac{r^{3}}{b}\right)

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