3.37 Determine a distribuição de temperatura estacionária T(r) em uma esfera oca na qual se gera calor a uma taxa constante q_{0} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, enquanto a superfície interna \mathrm{em},=a está isolada e a superfície externa \mathrm{em},=b é mantida na temperatura zero. Dė também as expressões da temperatura da superfície interna isolada e o fluxo de calor na superfície externa
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
Dados fornecidos:
Esfera oca com raio interno \,a e raio externo \,b.
Geração de calor constante com taxa \,q_{0}. (Aqui vou assumir que \,q_{0} é a taxa volumétrica de geração de calor, com unidades \mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}; se o enunciado usou \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} por engano, o procedimento é para geração volumétrica.)
A superfície interna (r=a) está isolada (isto é, não há fluxo radial através dela).
A superfície externa (r=b) é mantida à temperatura zero: \,T(b)=0.
O que o enunciado pede:
Determinar a distribuição de temperatura estacionária \,T(r) para a\le r\le b.
Dar a expressão da temperatura da superfície interna isolada, isto é \,T(a).
Dar o fluxo de calor na superfície externa (fluxo radial na face externa, avaliado em r=b).
Observações/constantes usadas na resolução:
A condutividade térmica do material será denotada por \,k (assumida constante e uniformemente isotrópica).
Convenção de sinal: o fluxo de calor radial será dado por \,q_r = -k\,\dfrac{dT}{dr} (positivo para calor saindo radialmente).
Passo 2
Montar a equação diferencial que governa o problema e explicar por que ela é essa.
Para regime estacionário e simetria esférica (dependência somente de r), a conservação de energia para uma casca esférica finita leva à equação de condução com geração volumétrica constante \,q_{0}:
\,k é a condutividade térmica (unidade \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}). A lei de Fourier numa direção radial diz que o fluxo radial por unidade de área é -k\,dT/dr.
O termo \dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{d}{dr}\!\big(r^{2}k\,dT/dr\big) é a forma radial do laplaciano (ou divergência do fluxo) em coordenadas esféricas, que representa a variação do fluxo através de cascas esféricas.
O termo \,q_{0} é a geração volumétrica uniforme (energia gerada por unidade de volume por unidade de tempo). No equilíbrio, a divergência do fluxo mais a geração devem somar zero (não há armazenamento de energia).
Como k é constante, podemos simplificar a equação:
Resolver a equação diferencial pela primeira integração, definindo constantes de integração e aplicando a condição de isolamento na superfície interna.
Interpretação física rápida: \,q_{r}(b) é exatamente a potência total gerada no volume da casca (q_{0}\times volume = q_{0}\cdot\frac{4\pi}{3}(b^{3}-a^{3})) dividida pela área externa 4\pi b^{2}; ou seja,