3.37 Determine a distribuição de temperatura estacionária T(r) em uma esfera oca na qual se gera calor a uma taxa constante q_{0} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, enquanto a superfície interna \mathrm{em},=a está isolada e a superfície externa \mathrm{em},=b é mantida na temperatura zero. Dė também as expressões da temperatura da superfície interna isolada e o fluxo de calor na superfície externa

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados fornecidos:
    • Esfera oca com raio interno \,a e raio externo \,b.
    • Geração de calor constante com taxa \,q_{0}. (Aqui vou assumir que \,q_{0} é a taxa volumétrica de geração de calor, com unidades \mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}; se o enunciado usou \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} por engano, o procedimento é para geração volumétrica.)
    • A superfície interna ( r=a) está isolada (isto é, não há fluxo radial através dela).
    • A superfície externa ( r=b) é mantida à temperatura zero: \,T(b)=0.
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar a distribuição de temperatura estacionária \,T(r) para a\le r\le b.
    2. Dar a expressão da temperatura da superfície interna isolada, isto é \,T(a).
    3. Dar o fluxo de calor na superfície externa (fluxo radial na face externa, avaliado em r=b).
  • Observações/constantes usadas na resolução:
    • A condutividade térmica do material será denotada por \,k (assumida constante e uniformemente isotrópica).
    • Convenção de sinal: o fluxo de calor radial será dado por \,q_r = -k\,\dfrac{dT}{dr} (positivo para calor saindo radialmente).

Passo 2

Montar a equação diferencial que governa o problema e explicar por que ela é essa.
  • Para regime estacionário e simetria esférica (dependência somente de r), a conservação de energia para uma casca esférica finita leva à equação de condução com geração volumétrica constante \,q_{0}:
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}k\frac{dT}{dr}\right)+q_{0}=0.
  • Explicação física passo a passo:
    • \,T(r) é a temperatura em função do raio r.
    • \,k é a condutividade térmica (unidade \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}). A lei de Fourier numa direção radial diz que o fluxo radial por unidade de área é -k\,dT/dr.
    • O termo \dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{d}{dr}\!\big(r^{2}k\,dT/dr\big) é a forma radial do laplaciano (ou divergência do fluxo) em coordenadas esféricas, que representa a variação do fluxo através de cascas esféricas.
    • O termo \,q_{0} é a geração volumétrica uniforme (energia gerada por unidade de volume por unidade de tempo). No equilíbrio, a divergência do fluxo mais a geração devem somar zero (não há armazenamento de energia).
  • Como k é constante, podemos simplificar a equação:
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dT}{dr}\right) = -\frac{q_{0}}{k}.

Passo 3

Resolver a equação diferencial pela primeira integração, definindo constantes de integração e aplicando a condição de isolamento na superfície interna.
  • Escrevendo a equação simplificada:
\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dT}{dr}\right) = -\frac{q_{0}}{k}\,r^{2}.
  • Integrando em relação a r (primeira integração):
r^{2}\frac{dT}{dr} = -\frac{q_{0}}{k}\int r^{2}dr + C_{1} = -\frac{q_{0}}{k}\cdot\frac{r^{3}}{3} + C_{1},
onde \,C_{1} é uma constante de integração (tem unidades adequadas para que a igualdade faça sentido).
  • Agora escrevemos a derivada:
\frac{dT}{dr} = -\frac{q_{0}}{3k}\,r + \frac{C_{1}}{r^{2}}.
  • Aplicar a condição de isolamento em r=a: isolamento significa que o fluxo radial através da superfície interna é zero, logo
\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=a}=0.
Substituindo,
0 = -\frac{q_{0}}{3k}\,a + \frac{C_{1}}{a^{2}}.
  • Resolver para \,C_{1}:
C_{1} = \frac{q_{0}}{3k}\,a^{3}.

Passo 4

Integrar uma segunda vez para obter T(r) e aplicar a condição de contorno T(b)=0 para achar a segunda constante.
  • Integração da expressão para \,dT/dr:
\frac{dT}{dr} = -\frac{q_{0}}{3k}\,r + \frac{C_{1}}{r^{2}} \quad\Longrightarrow\quad T(r)=\int\left(-\frac{q_{0}}{3k}\,r + \frac{C_{1}}{r^{2}}\right)dr + C_{2}.
  • Efetuando as integrais:
T(r) = -\frac{q_{0}}{3k}\cdot\frac{r^{2}}{2} - \frac{C_{1}}{r} + C_{2} = -\frac{q_{0}}{6k}\,r^{2} - \frac{C_{1}}{r} + C_{2},
onde \,C_{2} é outra constante de integração.
  • Substituir o valor de \,C_{1} obtido no Passo 3:
T(r) = -\frac{q_{0}}{6k}\,r^{2} - \frac{1}{r}\left(\frac{q_{0}}{3k}a^{3}\right) + C_{2}.
  • Aplicar a condição T(b)=0:
0 = -\frac{q_{0}}{6k}\,b^{2} - \frac{q_{0}}{3k}\frac{a^{3}}{b} + C_{2}.
  • Logo
C_{2} = \frac{q_{0}}{6k}\,b^{2} + \frac{q_{0}}{3k}\frac{a^{3}}{b}.

Passo 5

Escrever a solução final simplificada para T(r) e organizar a expressão de forma clara.
  • Substituindo \,C_{2} na expressão de \,T(r):
T(r) = -\frac{q_{0}}{6k}\,r^{2} - \frac{q_{0}}{3k}\frac{a^{3}}{r} + \left(\frac{q_{0}}{6k}\,b^{2} + \frac{q_{0}}{3k}\frac{a^{3}}{b}\right).
  • Agrupando fatores para ficar mais legível:
T(r) = \frac{q_{0}}{6k}\left(b^{2}-r^{2}\right) + \frac{q_{0}a^{3}}{3k}\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{r}\right).
Esta é a distribuição de temperatura estacionária válida para a\le r\le b.

Passo 6

Calcular explicitamente a temperatura na superfície interna T(a) substituindo r=a.
  • Substituindo r=a na forma obtida:
T(a) = \frac{q_{0}}{6k}\left(b^{2}-a^{2}\right) + \frac{q_{0}a^{3}}{3k}\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right).
  • Se desejar, pode-se manipular a segunda parcela:
\frac{q_{0}a^{3}}{3k}\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right) = \frac{q_{0}}{3k}\cdot\frac{a^{3}(a-b)}{ab} = \frac{q_{0}a^{2}}{3k}\cdot\frac{(a-b)}{b},
mas a forma anterior já é clara e correta.

Passo 7

Calcular o fluxo de calor radial na superfície externa r=b e interpretar o resultado.
  • Primeiro, escrever a derivada geral:
\frac{dT}{dr} = -\frac{q_{0}}{3k}\,r + \frac{C_{1}}{r^{2}}, \quad\text{com}\quad C_{1}=\frac{q_{0}}{3k}a^{3}.
  • Avaliando em r=b:
\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=b} = -\frac{q_{0}}{3k}\,b + \frac{q_{0}}{3k}\frac{a^{3}}{b^{2}} = -\frac{q_{0}}{3k}\left(b - \frac{a^{3}}{b^{2}}\right).
  • O fluxo de calor radial (saindo, por convenção) na superfície externa é
q_{r}(b) = -k\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=b} = -k\left[-\frac{q_{0}}{3k}\left(b - \frac{a^{3}}{b^{2}}\right)\right] = \frac{q_{0}}{3}\left(b - \frac{a^{3}}{b^{2}}\right).
  • Pode-se reescrever de forma compacta:
q_{r}(b) = \frac{q_{0}}{3b^{2}}\left(b^{3}-a^{3}\right).
  • Interpretação física rápida: \,q_{r}(b) é exatamente a potência total gerada no volume da casca ( q_{0}\times volume = q_{0}\cdot\frac{4\pi}{3}(b^{3}-a^{3})) dividida pela área externa 4\pi b^{2}; ou seja,
q_{r}(b)=\frac{q_{0}\,\frac{4\pi}{3}(b^{3}-a^{3})}{4\pi b^{2}}=\frac{q_{0}}{3b^{2}}(b^{3}-a^{3}),
confirmando a coerência do resultado.

Resposta

T(r)=\frac{q_{0}}{6k}\bigl(b^{2}-r^{2}\bigr) +\frac{q_{0}a^{3}}{3k}\!\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{r}\right),\quad a\le r\le b
T(a)=\frac{q_{0}}{6k}\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr) +\frac{q_{0}a^{3}}{3k}\!\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right)
q_{r}(b)=\frac{q_{0}}{3b^{2}}\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr)

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