1. Um jato de ar horizontal com 13 mm de diâmetro, e axialmente simétrico, atinge um disco estacionário vertical com 203 mm de diâmetro. A velocidade do jato é de 69 \mathrm{~m} / \mathrm{s} na saída do bocal.
Um manômetro está conectado ao centro do disco. Calcule:
(a) a deflexão, h, se o líquido do manômetro tem densidade relativa S G=1,75.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • Diâmetro do jato: D_j=13\\ \text{mm}.
  • Diâmetro do disco: D_d=203\\ \text{mm}.
  • Velocidade do jato na saída do bocal: V=69\\ \text{m}/\text{s}.
  • Densidade relativa do líquido do manômetro: \mathrm{SG}=1{,}75.
O que se pede:
(a) determinar a deflexão h do manômetro (ou seja, a diferença de nível do líquido pesado nas duas colunas) com o manômetro ligado ao centro do disco.
Informações adicionais que usarei (valores padrão):
  • Densidade da água: \rho_w=1000\\ \text{kg}/\text{m}^3.
  • A densidade do líquido do manômetro: \rho_m=\mathrm{SG}\cdot\rho_w.
  • Densidade do ar (adotada aqui): \rho_a=1{,}20\\ \text{kg}/\text{m}^3 (valor típico à temperatura ambiente).
  • Aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \text{m}/\text{s}^2.
Observação importante (apenas enunciando o dado): o disco é bem maior que o jato, logo o jato incide totalmente no disco e produz uma região de estagnação no centro — isto justifica usar a pressão de estagnação do jato no ponto ligado ao manômetro.

Passo 2

Conceito físico: quando um jato de ar atinge normal (perpendicular) a um disco e é trazido praticamente à pausa no ponto central, a pressão nesse ponto é a pressão de estagnação do jato. Pela equação de Bernoulli (entre um ponto na corrente do jato onde a pressão é a atmosférica e velocidade é V, e o ponto de estagnação onde a velocidade é nula), a diferença de pressão é a pressão dinâmica:
p_{\text{centro}}-p_{\text{atm}}=\tfrac{1}{2}\rho_a V^2.
Explicando a fórmula: \tfrac{1}{2}\rho_a V^2 é a pressão dinâmica do ar com densidade \rho_a e velocidade V. Aqui:
  • p_{\text{centro}} é a pressão no centro do disco (ligada ao manômetro).
  • p_{\text{atm}} é a pressão atmosférica.
  • \rho_a é a densidade do ar.
  • V é a velocidade do jato.
Pressupostos: fluido incompressível (válido para V=69\\ \text{m/s} com ar, que é moderado), perdas viscosas locais desprezíveis para estimar a pressão de estagnação no ponto central.

Passo 3

Relação manométrica: para o manômetro em equilíbrio com um lado conectado ao centro do disco ( p_{\text{centro}}) e o outro aberto à atmosfera ( p_{\text{atm}}), e com fluido pesado de densidade \rho_m e fluido leve (ar) de densidade \rho_a nas partes superiores, a diferença de pressão aparece como diferença de nível h entre as interfaces. A relação hidroestática é:
p_{\text{centro}}-p_{\text{atm}}=(\rho_m-\rho_a)\,g\,h.
Explicando: subindo-se verticalmente entre as interfaces atravessa-se uma coluna de fluido pesado de altura h em diferença, e a contribuição efetiva à diferença de pressão é (\rho_m-\rho_a)g h porque ambos os lados têm uma coluna de ar (ou fluido leve) que se anula.

Passo 4

Combinar as duas expressões para obter h. Substituindo p_{\text{centro}}-p_{\text{atm}}=\tfrac{1}{2}\rho_a V^2 em ( \rho_m-\rho_a)g h resulta:
(\rho_m-\rho_a)g\,h=\tfrac{1}{2}\rho_a V^2 \quad\Rightarrow\quad h=\dfrac{\tfrac{1}{2}\rho_a V^2}{(\rho_m-\rho_a)g}.
Calcular \rho_m:
\rho_m=\mathrm{SG}\cdot\rho_w=1{,}75\cdot1000=1750\\ \text{kg}/\text{m}^3.
Substituir números (usando \rho_a=1{,}20\\ \text{kg}/\text{m}^3, V=69\\ \text{m}/\text{s}, g=9{,}81\\ \text{m}/\text{s}^2):
Calcular a pressão dinâmica:
\tfrac{1}{2}\rho_a V^2=\tfrac{1}{2}\cdot1{,}20\cdot(69)^2 =\;0{,}6\cdot4761 =2856{,}6\\ \text{Pa}.
Calcular o denominador:
(\rho_m-\rho_a)g=(1750-1{,}20)\cdot9{,}81 =1748{,}8\cdot9{,}81\approx17155{,}1\\ \text{N}/\text{m}^3.
Logo
h=\dfrac{2856{,}6}{17155{,}1}\approx0{,}1665\\ \text{m}.
Converter para milímetros, se preferir:
h\approx166{,}5\\ \text{mm}.
Comentário didático final: observe que os diâmetros do jato e do disco foram dados para garantir que o jato incide totalmente sobre o disco (disco bem maior que o jato). Isso permite usar a pressão de estagnação do jato no ponto central sem considerar efeitos de contorno nas bordas do disco.

Resposta

\,h\approx0,166\\ \text{m}

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