- Um jato de ar horizontal com 13 mm de diâmetro, e axialmente simétrico, atinge um disco estacionário vertical com 203 mm de diâmetro. A velocidade do jato é de
na saída do bocal.
Um manômetro está conectado ao centro do disco. Calcule:
(a) a deflexão,
, se o líquido do manômetro tem densidade relativa
.
Passo 1
O enunciado fornece:
- Diâmetro do jato:
. - Diâmetro do disco:
. - Velocidade do jato na saída do bocal:
. - Densidade relativa do líquido do manômetro:
.
O que se pede:
(a) determinar a deflexão do manômetro (ou seja, a diferença de nível do líquido pesado nas duas colunas) com o manômetro ligado ao centro do disco.
(a) determinar a deflexão
Informações adicionais que usarei (valores padrão):
- Densidade da água:
. - A densidade do líquido do manômetro:
. - Densidade do ar (adotada aqui):
(valor típico à temperatura ambiente). - Aceleração da gravidade:
.
Observação importante (apenas enunciando o dado): o disco é bem maior que o jato, logo o jato incide totalmente no disco e produz uma região de estagnação no centro — isto justifica usar a pressão de estagnação do jato no ponto ligado ao manômetro.
Passo 2
Conceito físico: quando um jato de ar atinge normal (perpendicular) a um disco e é trazido praticamente à pausa no ponto central, a pressão nesse ponto é a pressão de estagnação do jato. Pela equação de Bernoulli (entre um ponto na corrente do jato onde a pressão é a atmosférica e velocidade é
, e o ponto de estagnação onde a velocidade é nula), a diferença de pressão é a pressão dinâmica:
Explicando a fórmula:
é a pressão dinâmica do ar com densidade
e velocidade
. Aqui:
-
é a pressão no centro do disco (ligada ao manômetro). -
é a pressão atmosférica. -
é a densidade do ar. -
é a velocidade do jato.
Pressupostos: fluido incompressível (válido para
com ar, que é moderado), perdas viscosas locais desprezíveis para estimar a pressão de estagnação no ponto central.
Passo 3
Relação manométrica: para o manômetro em equilíbrio com um lado conectado ao centro do disco (
) e o outro aberto à atmosfera (
), e com fluido pesado de densidade
e fluido leve (ar) de densidade
nas partes superiores, a diferença de pressão aparece como diferença de nível
entre as interfaces. A relação hidroestática é:
Explicando: subindo-se verticalmente entre as interfaces atravessa-se uma coluna de fluido pesado de altura
em diferença, e a contribuição efetiva à diferença de pressão é
porque ambos os lados têm uma coluna de ar (ou fluido leve) que se anula.
Passo 4
Combinar as duas expressões para obter
. Substituindo
em
resulta:
Calcular
:
Substituir números (usando
,
,
):
Calcular a pressão dinâmica:
Calcular o denominador:
Logo
Converter para milímetros, se preferir:
Comentário didático final: observe que os diâmetros do jato e do disco foram dados para garantir que o jato incide totalmente sobre o disco (disco bem maior que o jato). Isso permite usar a pressão de estagnação do jato no ponto central sem considerar efeitos de contorno nas bordas do disco.