(a)Determine o volume do sólido que está acima do cone \varphi=\pi / 3 e abaixo da esfera \rho=4 \cos \varphi.
(b) Encontre o centroide do sólido na parte (a).
Determine o volume do sólido que está dentro da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, acima do plano x y e abaixo do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Determine o centroide do sólido do Exercício 25.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede em cada item.
Item 29(a): Determinar o volume do sólido que está acima do cone \varphi=\pi/3 e abaixo da esfera \rho=4\cos\varphi.
Informações dadas: a superfície do cone é \varphi=\pi/3 (coordenadas esféricas) e a superfície da esfera é dada por \rho=4\cos\varphi (em coordenadas esféricas).
Pergunta: calcular o volume do sólido delimitado por essas superfícies.
Item 29(b): Encontrar o centroide do sólido da parte (a).
Informações dadas: o mesmo sólido do item 29(a).
Pergunta: determinar as coordenadas do centroide (\bar x,\bar y,\bar z) do sólido.
Item 30: Determinar o volume do sólido que está dentro da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, acima do plano xy (isto é, z\ge0) e abaixo do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas: esfera de raio 2, plano z=0, e cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Pergunta: calcular o volume do sólido determinado por essas três condições.
Item 31: “Determine o centroide do sólido do Exercício 25.”
Informação importante: O enunciado do Exercício 25 NÃO foi fornecido junto com esta lista.
Pergunta: encontrar o centroide do sólido do Exercício 25.
Observação necessária: sem o enunciado do Exercício 25 (descrição do sólido, equações limites, etc.) não há como resolver o item 31. Vou explicitar isso quando chegar no passo correspondente.
Passo 2
Resolvendo o item 29(a). Primeiro uma breve revisão das coordenadas esféricas (para entender e aplicar na prova):
Em coordenadas esféricas usamos as variáveis \rho,\varphi,\theta, onde:
\rho é a distância do ponto à origem (posição radial, \rho\ge0);
\varphi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z positivo (0\le\varphi\le\pi);
\theta é o ângulo azimutal no plano xy (0\le\theta<2\pi).
A relação com coordenadas cartesianas é:x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
O elemento de volume em coordenadas esféricas édV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Agora identificar os limites do sólido pedido:
"Acima do cone \varphi=\pi/3" significa pontos com \varphi entre 0 e \pi/3 (mais próximos do eixo z).
"Abaixo da esfera \rho=4\cos\varphi" significa que, para cada direção dada por \varphi,\theta, a coordenada radial \rho vai de 0 até a superfície \rho=4\cos\varphi (observe que essa expressão só faz sentido para \cos\varphi\ge0, i.e. \varphi\in[0,\pi/2]; aqui nosso \varphi\le\pi/3 está dentro disso).
O ângulo \theta percorre todo 0 a 2\pi por simetria em torno do eixo z.
Montamos, portanto, a integral tripla para o volume:
Portanto o volume do sólido do item 29(a) é \;10\pi.
Passo 4
Agora o item 29(b): encontrar o centroide do sólido do item 29(a).
Por simetria de rotação em torno do eixo z, as coordenadas \bar x e \bar y do centroide são zero:
\bar x=0,\qquad \bar y=0.
Vou justificar rapidamente: para cada ponto com coordenada x>0 existe um ponto simétrico com x<0 no sólido, e o mesmo em y, então as componentes x e y se cancelam na média.
Resta calcular \bar z. Fórmula do centroide (coordenada z) para um sólido de massa uniforme:
\bar z=\frac{1}{V}\iiint_{S} z\,dV,
onde V é o volume (que já calculamos) e z=\rho\cos\varphi em coordenadas esféricas.
Portanto o centroide do sólido do item 29 é (\bar x,\bar y,\bar z)=(0,0,\tfrac{21}{10}).
Passo 6
Resolver o item 30. Primeiro identificar o sólido em coordenadas esféricas e os limites.
A esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 é simplesmente \rho=2.
O plano xy é z=0, em esféricas corresponde a \varphi=\pi/2 como superfície limite superior de \varphi.
O cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} em esféricas: \rho\cos\varphi=\rho\sin\varphi (porque \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\rho\sin\varphi), o que dá \tan\varphi=1 ou \varphi=\pi/4.
O sólido pedido é “dentro da esfera”, "acima do plano xy" (isto é 0\le\varphi\le\pi/2), e "abaixo do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}". A expressão “abaixo do cone” significa z\le\sqrt{x^{2}+y^{2}}, ou seja as direções com \varphi maiores ou iguais a \pi/4. Juntando com z\ge0 obtemos \varphi\in[\pi/4,\pi/2].
O volume do sólido do item 30 é \displaystyle \frac{8\sqrt{2}\,\pi}{3}.
Passo 8
Item 31: análise do que falta e conclusão.
O enunciado do Exercício 31 pede o centroide do sólido do Exercício 25, mas o Exercício 25 não foi fornecido aqui.
Para determinar o centroide de um sólido seria necessário conhecer completamente a região sólida (equações dos limites, se é porção de esfera/cone/paralelepípedo, etc.). Sem essa descrição não é possível montar a integral para as coordenadas do centroide nem calcular nada.
Portanto, não é possível resolver o item 31 com as informações dadas. Se o enunciado do Exercício 25 for enviado (descrição do sólido ou suas fronteiras), eu resolvo o centroide passo a passo.