1. (a)Determine o volume do sólido que está acima do cone \varphi=\pi / 3 e abaixo da esfera \rho=4 \cos \varphi.
    (b) Encontre o centroide do sólido na parte (a).
  2. Determine o volume do sólido que está dentro da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, acima do plano x y e abaixo do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  3. Determine o centroide do sólido do Exercício 25.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede em cada item.
  • Item 29(a): Determinar o volume do sólido que está acima do cone \varphi=\pi/3 e abaixo da esfera \rho=4\cos\varphi.
    • Informações dadas: a superfície do cone é \varphi=\pi/3 (coordenadas esféricas) e a superfície da esfera é dada por \rho=4\cos\varphi (em coordenadas esféricas).
    • Pergunta: calcular o volume do sólido delimitado por essas superfícies.
  • Item 29(b): Encontrar o centroide do sólido da parte (a).
    • Informações dadas: o mesmo sólido do item 29(a).
    • Pergunta: determinar as coordenadas do centroide (\bar x,\bar y,\bar z) do sólido.
  • Item 30: Determinar o volume do sólido que está dentro da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, acima do plano xy (isto é, z\ge0) e abaixo do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
    • Informações dadas: esfera de raio 2, plano z=0, e cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
    • Pergunta: calcular o volume do sólido determinado por essas três condições.
  • Item 31: “Determine o centroide do sólido do Exercício 25.”
    • Informação importante: O enunciado do Exercício 25 NÃO foi fornecido junto com esta lista.
    • Pergunta: encontrar o centroide do sólido do Exercício 25.
    • Observação necessária: sem o enunciado do Exercício 25 (descrição do sólido, equações limites, etc.) não há como resolver o item 31. Vou explicitar isso quando chegar no passo correspondente.

Passo 2

Resolvendo o item 29(a). Primeiro uma breve revisão das coordenadas esféricas (para entender e aplicar na prova):
  • Em coordenadas esféricas usamos as variáveis \rho,\varphi,\theta, onde:
    • \rho é a distância do ponto à origem (posição radial, \rho\ge0);
    • \varphi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z positivo ( 0\le\varphi\le\pi);
    • \theta é o ângulo azimutal no plano xy ( 0\le\theta<2\pi).
  • A relação com coordenadas cartesianas é: x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
  • O elemento de volume em coordenadas esféricas é dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Agora identificar os limites do sólido pedido:
  • "Acima do cone \varphi=\pi/3" significa pontos com \varphi entre 0 e \pi/3 (mais próximos do eixo z).
  • "Abaixo da esfera \rho=4\cos\varphi" significa que, para cada direção dada por \varphi,\theta, a coordenada radial \rho vai de 0 até a superfície \rho=4\cos\varphi (observe que essa expressão só faz sentido para \cos\varphi\ge0, i.e. \varphi\in[0,\pi/2]; aqui nosso \varphi\le\pi/3 está dentro disso).
  • O ângulo \theta percorre todo 0 a 2\pi por simetria em torno do eixo z.
Montamos, portanto, a integral tripla para o volume:
V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/3}\int_{\rho=0}^{4\cos\varphi}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Calcular explicitamente a integral de volume do item 29(a), passo a passo.
  1. Integramos primeiro em \rho:
\int_{0}^{4\cos\varphi}\rho^{2}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{3}}{3}\right|_{0}^{4\cos\varphi}=\frac{(4\cos\varphi)^{3}}{3}=\frac{64}{3}\cos^{3}\varphi.
  1. Substituímos na integral:
V=\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\int_{0}^{\pi/3}\frac{64}{3}\cos^{3}\varphi\sin\varphi\,d\varphi.
A integral em \theta dá simplesmente 2\pi. Então
V=\frac{128\pi}{3}\int_{0}^{\pi/3}\cos^{3}\varphi\sin\varphi\,d\varphi.
  1. Para integrar \int\cos^{3}\varphi\sin\varphi\,d\varphi use substituição u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi. Os limites:
  • \varphi=0 u=\cos 0=1,
  • \varphi=\pi/3 u=\cos(\pi/3)=\tfrac{1}{2}.
Assim
\int_{0}^{\pi/3}\cos^{3}\varphi\sin\varphi\,d\varphi=\int_{u=1}^{1/2}u^{3}(-du)=\int_{1/2}^{1}u^{3}\,du=\left.\frac{u^{4}}{4}\right|_{1/2}^{1}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{16}=\frac{15}{64}.
  1. Finalmente
V=\frac{128\pi}{3}\cdot\frac{15}{64}=\frac{128}{64}\cdot\frac{15\pi}{3}=2\cdot\frac{15\pi}{3}=\frac{30\pi}{3}=10\pi.
Portanto o volume do sólido do item 29(a) é \;10\pi.

Passo 4

Agora o item 29(b): encontrar o centroide do sólido do item 29(a).
  • Por simetria de rotação em torno do eixo z, as coordenadas \bar x e \bar y do centroide são zero:
    \bar x=0,\qquad \bar y=0.
    Vou justificar rapidamente: para cada ponto com coordenada x>0 existe um ponto simétrico com x<0 no sólido, e o mesmo em y, então as componentes x e y se cancelam na média.
  • Resta calcular \bar z. Fórmula do centroide (coordenada z) para um sólido de massa uniforme:
    \bar z=\frac{1}{V}\iiint_{S} z\,dV,
    onde V é o volume (que já calculamos) e z=\rho\cos\varphi em coordenadas esféricas.

Passo 5

Calcular a integral para \bar z passo a passo.
  1. Montamos a integral:
\iiint_{S} z\,dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/3}\int_{0}^{4\cos\varphi}(\rho\cos\varphi)\,\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
O integrando é \rho^{3}\cos\varphi\sin\varphi.
  1. Integral em \rho:
\int_{0}^{4\cos\varphi}\rho^{3}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{4}}{4}\right|_{0}^{4\cos\varphi}=\frac{(4\cos\varphi)^{4}}{4}=\frac{256}{4}\cos^{4}\varphi=64\cos^{4}\varphi.
  1. Substituindo:
\iiint_{S} z\,dV=\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\int_{0}^{\pi/3}64\cos^{4}\varphi\cdot\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi =128\pi\int_{0}^{\pi/3}\cos^{5}\varphi\sin\varphi\,d\varphi.
  1. Integramos usando u=\cos\varphi,\;du=-\sin\varphi\,d\varphi. Os limites: \varphi=0\Rightarrow u=1, \varphi=\pi/3\Rightarrow u=\tfrac{1}{2}. Então
\int_{0}^{\pi/3}\cos^{5}\varphi\sin\varphi\,d\varphi=\int_{1}^{1/2}u^{5}(-du)=\int_{1/2}^{1}u^{5}\,du=\left.\frac{u^{6}}{6}\right|_{1/2}^{1}=\frac{1}{6}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{64}=\frac{63}{384}.
  1. Portanto o numerador é
\iiint_{S} z\,dV=128\pi\cdot\frac{63}{384}.
Simplificando 128/384=1/3, obtemos
\iiint_{S} z\,dV=\frac{1}{3}\cdot 63\pi=21\pi.
  1. Dividindo pelo volume V=10\pi obtido no Passo 3:
\bar z=\frac{21\pi}{10\pi}=\frac{21}{10}.
Portanto o centroide do sólido do item 29 é (\bar x,\bar y,\bar z)=(0,0,\tfrac{21}{10}).

Passo 6

Resolver o item 30. Primeiro identificar o sólido em coordenadas esféricas e os limites.
  • A esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 é simplesmente \rho=2.
  • O plano xy é z=0, em esféricas corresponde a \varphi=\pi/2 como superfície limite superior de \varphi.
  • O cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} em esféricas: \rho\cos\varphi=\rho\sin\varphi (porque \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\rho\sin\varphi), o que dá \tan\varphi=1 ou \varphi=\pi/4.
  • O sólido pedido é “dentro da esfera”, "acima do plano xy" (isto é 0\le\varphi\le\pi/2), e "abaixo do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}". A expressão “abaixo do cone” significa z\le\sqrt{x^{2}+y^{2}}, ou seja as direções com \varphi maiores ou iguais a \pi/4. Juntando com z\ge0 obtemos \varphi\in[\pi/4,\pi/2].
  • \rho vai de 0 até 2. \theta vai de 0 a 2\pi.
Logo a integral para o volume é
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{\varphi=\pi/4}^{\pi/2}\int_{0}^{2}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 7

Calcular a integral do item 30 passo a passo.
  1. Integral em \rho:
\int_{0}^{2}\rho^{2}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{3}}{3}\right|_{0}^{2}=\frac{8}{3}.
  1. Substituindo:
V=\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{8}{3}\sin\varphi\,d\varphi = \frac{16\pi}{3}\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi.
(Observe que \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi, então 2\pi\cdot\frac{8}{3}=\frac{16\pi}{3}.)
  1. Calcular \int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi:
\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi=\left.-\cos\varphi\right|_{\pi/4}^{\pi/2}=-\cos(\pi/2)+\cos(\pi/4)=0+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
  1. Portanto
V=\frac{16\pi}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{8\sqrt{2}\,\pi}{3}.
O volume do sólido do item 30 é \displaystyle \frac{8\sqrt{2}\,\pi}{3}.

Passo 8

Item 31: análise do que falta e conclusão.
  • O enunciado do Exercício 31 pede o centroide do sólido do Exercício 25, mas o Exercício 25 não foi fornecido aqui.
  • Para determinar o centroide de um sólido seria necessário conhecer completamente a região sólida (equações dos limites, se é porção de esfera/cone/paralelepípedo, etc.). Sem essa descrição não é possível montar a integral para as coordenadas do centroide nem calcular nada.
  • Portanto, não é possível resolver o item 31 com as informações dadas. Se o enunciado do Exercício 25 for enviado (descrição do sólido ou suas fronteiras), eu resolvo o centroide passo a passo.

Resposta

29(a) 10\pi
29(b) \displaystyle (\bar x,\bar y,\bar z)=\left(0,0,\frac{21}{10}\right)
30 \displaystyle \frac{8\sqrt{2}\,\pi}{3}
31 Não é possível determinar: o enunciado do Exercício 25 não foi fornecido.

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