39.60 •• Um corpo negro ideal. Uma grande cavidade que possui um orifício muito pequeno e é mantida a uma temperatura T é uma boa aproximaçāo de um irradiador ou corpo negro ideal. A radiação só pode passar para dentro ou para fora da cavidade através do orifício. A cavidade é um absorvente perfeito, pois qualquer radiação incidente no orifício é interceptada dentro da cavidade. Essa cavidade a 400^{\circ} \mathrm{C} tem um orifício com área de 4,00 \mathrm{~mm}^{2}. Quanto tempo leva para a cavidade irradiar 100 J de energia através do orifício?

Passo 1

O enunciado pede para calcular o tempo que a cavidade (corpo negro ideal) leva para irradiar 100\\ \mathrm{J} através de um orifício. As informações fornecidas são:
  • Temperatura da cavidade: T=400^\circ\mathrm{C}.
  • Área do orifício: A=4{,}00\\ \mathrm{mm}^2.
  • Energia a ser irradiada através do orifício: E=100\\ \mathrm{J}.
Conversões necessárias (dados explícitos que usarei mais adiante):
  • Temperatura para kelvin: T = 400^\circ\mathrm{C} = 400 + 273{,}15 = 673{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Área para metros quadrados: A = 4{,}00\\ \mathrm{mm}^2 = 4{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 2

Qual a fórmula que usamos e por quê (explicação didática)?
  • Uma cavidade com um orifício pequeno é um excelente modelo de corpo negro: o orifício emite radiação exatamente como uma superfície negra de área igual à do orifício. Isso é padrão em física térmica e óptica.
  • A lei que relaciona potência emitida por unidade de área de um corpo negro à sua temperatura é a lei de Stefan–Boltzmann. Ela diz que a potência emitida por unidade de área (chamada de emissividade ou saída radiativa por unidade de área) é proporcional a T^4.
  • A fórmula é
M=\sigma T^4,
onde:
  • M é a potência emitida por unidade de área (em \mathrm{W/m}^2);
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann, cujo valor é aproximadamente \sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}};
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
  • A potência total que sai pelo orifício é então
P = M\cdot A = \sigma A T^4.
  • Depois de obter P (potência em watts = joules por segundo), o tempo necessário para irradiar energia E é dado por
t=\frac{E}{P}.

Passo 3

Transformações numéricas iniciais (já listadas, repito em forma computacional):
T = 400 + 273{,}15 = 673{,}15\\ \mathrm{K},
A = 4{,}00\\ \mathrm{mm}^2 = 4{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Calcular T^2 e T^4 de forma clara:
T^2 = (673{,}15)^2 \approx 453\,131\\ (\text{unidade K}^2),
T^4 = (T^2)^2 \approx (453\,131)^2 \approx 2{,}0532771\times10^{11}\\ (\text{unidade K}^4).
(Expliquei o passo em dois estágios para você poder fazer na prova: primeiro quadrado, depois quadrado novamente.)

Passo 5

Calcular a saída radiativa por unidade de área M:
M = \sigma T^4 = 5{,}670374419\times10^{-8}\times 2{,}0532771\times10^{11}\\ \mathrm{W/m}^2.
Multiplicando:
M \approx 1{,}1642849876\times10^{4}\\ \mathrm{W/m}^2 \approx 1{,}1643\times10^{4}\\ \mathrm{W/m}^2.
(Interpretação: cada metro quadrado de superfície a 673{,}15\\ \mathrm{K} emite cerca de 1{,}16\times10^{4}\\ \mathrm{W}.)

Passo 6

Calcular a potência que sai pelo orifício:
P = M\cdot A \approx 1{,}1642849876\times10^{4}\times 4{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{W}.
P \approx 4{,}65713995\times10^{-2}\\ \mathrm{W} \approx 0{,}04657\\ \mathrm{W}.
(Interpretação: o orifício libera cerca de 0{,}0466\\ \mathrm{J/s}.)

Passo 7

Calcular o tempo necessário para irradiar E=100\\ \mathrm{J}:
t=\frac{E}{P}=\frac{100}{0{,}0465713995}\\ \mathrm{s}\approx 2{,}147{,}4\times10^{3}\\ \mathrm{s}.
Converter para minutos para ficar mais intuitivo:
t\approx \frac{2{,}147{,}4\times10^{3}}{60}\\ \mathrm{min}\approx 35{,}79\\ \mathrm{min}\approx 35\\ \mathrm{min}\\\ 47\\ \mathrm{s}.

Resposta

t \approx 2{,}15\times10^{3}\\ \mathrm{s} \approx 35{,}8\\ \mathrm{min}

Exercícios relacionados