Admitindo a questão anterior, considere que os fluidos são óleo e água. Marque a alternativa que delimita a altura máxima do fluido
para que
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) N.D.A.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) N.D.A.
Passo 1
O enunciado que recebi é curto e diz apenas: os fluidos são óleo e água e é para marcar a alternativa que delimita a altura máxima do fluido
para que
. Pergunta final: qual é o valor de
entre as opções:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) N.D.A.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) N.D.A.
Informações que o enunciado não fornece e que são necessárias para resolver numericamente a questão:
- A figura/configuração geométrica completa (como os fluidos estão dispostos nos tubos/vasos, se o óleo está sobre a água em um ramo, se ambos os ramos estão abertos à atmosfera, etc.).
- A densidade do óleo
. (A densidade da água costuma ser conhecida como parâmetro padrão, mas também não foi explicitada.) - Se a pergunta quer a expressão em função de densidades ou um valor numérico usando densidades típicas.
Sem a figura ou as densidades não é possível identificar univocamente qual das alternativas numéricas é correta.
Passo 2
Conceito físico que usamos (aula rápida): lei da hidroestática.
- Em um fluido em equilíbrio sob gravidade, a pressão varia com a profundidade segundo a fórmula de Stevino:
onde
é a pressão a uma profundidade
abaixo da superfície de referência,
é a pressão na superfície (por exemplo, a pressão atmosférica),
é a densidade do fluido e
é a aceleração da gravidade.
- Em vasos comunicantes, em um mesmo nível horizontal dentro do mesmo fluido a pressão é a mesma. Quando há camadas de fluidos diferentes, para comparar pressões em um nível comum somam-se as contribuições
de cada camada atravessada.
Passo 3
Como se arma o equilíbrio (esquema genérico): suponha um sistema típico em que os dois ramos comunicam abaixo e os topos estão à atmosfera. Em um ramo há somente água com altura
(lado direito), no outro ramo há uma camada de óleo de altura
sobre água cuja coluna útil de água tem altura que também chamamos de
no caso desejado (lado esquerdo). Para que os níveis medidos
e
fiquem iguais (
), a condição é que as pressões no mesmo nível de comunicação sejam iguais.
Colocando as pressões numa referência comum ao nível de conexão inferior, se ambos os topos estão à mesma pressão atmosférica
, igualamos as contribuições das colunas:
Aqui cada termo foi escrito com seu significado:
-
= densidade do óleo, -
= densidade da água, -
= altura da camada de óleo que foi adicionada, -
= altura da coluna de água em cada ramo (no cenário pedido), -
= aceleração da gravidade (cancela depois).
Passo 4
Resolver a igualdade (passo a passo): simplificando a igualdade de pressões do passo anterior, os
e o termo
de cada lado podem (dependendo da configuração) se cancelar; no caso do esquema clássico em que o óleo está sobre a água em um ramo e o outro ramo tem só água, a igualdade fica
Se a condição requerida é
, essa igualdade reduz-se a
Subtraindo
dos dois lados obtém-se
Isto implica
neste arranjo específico — o que mostra que eu preciso conhecer exatamente como
e
são definidos na figura original: em diferentes configurações a equação correta muda. Portanto é imprescindível ter a figura exata ou a descrição clara de quais colunas somam onde. Sem essa precisão a escrita algébrica pode ficar errada.
Passo 5
Formulação geral útil (resultado que você pode aplicar se tiver a figura correta): numa configuração típica onde, ao nível de conexão, a pressão do ramo com óleo é igual à do ramo com só água, a igualdade de pressões leva em geral a uma relação do tipo
onde
e
são as alturas de água nas colunas esquerda e direita contadas entre o topo da água e o nível de conexão. Reorganizando para
:
Duas observações importantes:
- Se a questão pede a altura máxima
para que , muitas vezes esse “máximo” ocorre quando a coluna de água num ramo reduz até zero ( ), daí
onde
seria a altura de água remanescente no outro ramo.
- Assim o valor numérico de
depende da razão . Se não for dada, não há como escolher entre sem supor um valor para .
Passo 6
Comparando com as alternativas: usando a fórmula geral
cada alternativa corresponde a um valor particular da razão
:
- (a)
corresponde a (isto é, ). - (b)
corresponde a . - (c)
corresponde a (isto é, óleo mais denso que a água, improvável para um óleo usual). - (d)
corresponde a .
Sem a densidade do óleo (ou sem a figura que define exatamente
e
), não há base para escolher qual razão é a correta.
Passo 7
Conclusão prática e incentivo: com os dados que você me deu (apenas “os fluidos são óleo e água” e as alternativas numéricas), não é possível determinar univocamente qual alternativa é correta — é preciso ou a figura/configuração exata ou a densidade do óleo. Se você me passar a figura da questão anterior ou indicar a densidade do óleo a usar (por exemplo
ou outra), eu resolvo passo a passo substituindo na fórmula e mostro qual alternativa é a certa. Vai dar tudo certo — manda a figura ou a densidade que eu continuo.
Resposta
(e) N.D.A.