Admitindo a questão anterior, considere que os fluidos são óleo e água. Marque a alternativa que delimita a altura máxima do fluido h_{X} para que H_{1}=H_{2}=H.
(a) h_{x}=2 H
(b) h_{x}=4 H
(c) h_{x}=H / 2
(d) h_{x}=H / 4
(e) N.D.A.

Passo 1

O enunciado que recebi é curto e diz apenas: os fluidos são óleo e água e é para marcar a alternativa que delimita a altura máxima do fluido h_X para que H_1=H_2=H. Pergunta final: qual é o valor de h_X entre as opções:
(a) h_X=2H
(b) h_X=4H
(c) h_X=H/2
(d) h_X=H/4
(e) N.D.A.
Informações que o enunciado não fornece e que são necessárias para resolver numericamente a questão:
  • A figura/configuração geométrica completa (como os fluidos estão dispostos nos tubos/vasos, se o óleo está sobre a água em um ramo, se ambos os ramos estão abertos à atmosfera, etc.).
  • A densidade do óleo \rho_o. (A densidade da água \rho_w costuma ser conhecida como parâmetro padrão, mas também não foi explicitada.)
  • Se a pergunta quer a expressão em função de densidades ou um valor numérico usando densidades típicas.
Sem a figura ou as densidades não é possível identificar univocamente qual das alternativas numéricas é correta.

Passo 2

Conceito físico que usamos (aula rápida): lei da hidroestática.
  • Em um fluido em equilíbrio sob gravidade, a pressão varia com a profundidade segundo a fórmula de Stevino:
p = p_0 + \rho g h,
onde p é a pressão a uma profundidade h abaixo da superfície de referência, p_0 é a pressão na superfície (por exemplo, a pressão atmosférica), \rho é a densidade do fluido e g é a aceleração da gravidade.
  • Em vasos comunicantes, em um mesmo nível horizontal dentro do mesmo fluido a pressão é a mesma. Quando há camadas de fluidos diferentes, para comparar pressões em um nível comum somam-se as contribuições \rho g h de cada camada atravessada.

Passo 3

Como se arma o equilíbrio (esquema genérico): suponha um sistema típico em que os dois ramos comunicam abaixo e os topos estão à atmosfera. Em um ramo há somente água com altura H (lado direito), no outro ramo há uma camada de óleo de altura h_X sobre água cuja coluna útil de água tem altura que também chamamos de H no caso desejado (lado esquerdo). Para que os níveis medidos H_1 e H_2 fiquem iguais ( H_1=H_2=H), a condição é que as pressões no mesmo nível de comunicação sejam iguais.
Colocando as pressões numa referência comum ao nível de conexão inferior, se ambos os topos estão à mesma pressão atmosférica p_{atm}, igualamos as contribuições das colunas:
p_{atm} + \rho_o g h_X + \rho_w g H = p_{atm} + \rho_w g H.
Aqui cada termo foi escrito com seu significado:
  • \rho_o = densidade do óleo,
  • \rho_w = densidade da água,
  • h_X = altura da camada de óleo que foi adicionada,
  • H = altura da coluna de água em cada ramo (no cenário pedido),
  • g = aceleração da gravidade (cancela depois).

Passo 4

Resolver a igualdade (passo a passo): simplificando a igualdade de pressões do passo anterior, os p_{atm} e o termo \rho_w g H de cada lado podem (dependendo da configuração) se cancelar; no caso do esquema clássico em que o óleo está sobre a água em um ramo e o outro ramo tem só água, a igualdade fica
\rho_o g h_X + \rho_w g H_{\text{esquerdo}} = \rho_w g H_{\text{direito}}.
Se a condição requerida é H_{\text{esquerdo}}=H_{\text{direito}}=H, essa igualdade reduz-se a
\rho_o g h_X + \rho_w g H = \rho_w g H.
Subtraindo \rho_w g H dos dois lados obtém-se
\rho_o g h_X = 0.
Isto implica h_X=0 neste arranjo específico — o que mostra que eu preciso conhecer exatamente como H e h_X são definidos na figura original: em diferentes configurações a equação correta muda. Portanto é imprescindível ter a figura exata ou a descrição clara de quais colunas somam onde. Sem essa precisão a escrita algébrica pode ficar errada.

Passo 5

Formulação geral útil (resultado que você pode aplicar se tiver a figura correta): numa configuração típica onde, ao nível de conexão, a pressão do ramo com óleo é igual à do ramo com só água, a igualdade de pressões leva em geral a uma relação do tipo
\rho_o h_X + \rho_w h_{w,L} = \rho_w h_{w,R},
onde h_{w,L} e h_{w,R} são as alturas de água nas colunas esquerda e direita contadas entre o topo da água e o nível de conexão. Reorganizando para h_X:
h_X = \frac{\rho_w}{\rho_o}\,\bigl(h_{w,R}-h_{w,L}\bigr).
Duas observações importantes:
  • Se a questão pede a altura máxima h_X para que H_1=H_2=H, muitas vezes esse “máximo” ocorre quando a coluna de água num ramo reduz até zero ( h_{w,L}=0), daí
h_{X,\max} = \frac{\rho_w}{\rho_o}\,H,
onde H seria a altura de água remanescente no outro ramo.
  • Assim o valor numérico de h_{X,\max} depende da razão \rho_w/\rho_o. Se \rho_o não for dada, não há como escolher entre 2H,4H,H/2,H/4 sem supor um valor para \rho_o.

Passo 6

Comparando com as alternativas: usando a fórmula geral
h_{X,\max} = \frac{\rho_w}{\rho_o}\,H,
cada alternativa corresponde a um valor particular da razão \rho_w/\rho_o:
  • (a) h_X=2H corresponde a \rho_w/\rho_o=2 (isto é, \rho_o=\tfrac{1}{2}\rho_w).
  • (b) h_X=4H corresponde a \rho_w/\rho_o=4.
  • (c) h_X=H/2 corresponde a \rho_w/\rho_o=1/2 (isto é, óleo mais denso que a água, improvável para um óleo usual).
  • (d) h_X=H/4 corresponde a \rho_w/\rho_o=1/4.
Sem a densidade do óleo (ou sem a figura que define exatamente H e h_X), não há base para escolher qual razão é a correta.

Passo 7

Conclusão prática e incentivo: com os dados que você me deu (apenas “os fluidos são óleo e água” e as alternativas numéricas), não é possível determinar univocamente qual alternativa é correta — é preciso ou a figura/configuração exata ou a densidade do óleo. Se você me passar a figura da questão anterior ou indicar a densidade do óleo a usar (por exemplo \rho_o=800\\ \mathrm{kg/m^3} ou outra), eu resolvo passo a passo substituindo na fórmula e mostro qual alternativa é a certa. Vai dar tudo certo — manda a figura ou a densidade que eu continuo.

Resposta

(e) N.D.A.

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