1.39
Deduz a expressão da distância
entre a imagem e o vértice de um espelho esférico em função da distância focal
e da ampliação
.
Passo 1
O enunciado pede: deduzir uma expressão para a distância da imagem ao vértice do espelho, chamada de
, em função da distância focal
e da ampliação
.
Informações e símbolos dados:
-
: distância da imagem ao vértice do espelho (queremos expressar em função de e ). -
: distância focal do espelho (dada). -
: ampliação (razão entre altura da imagem e altura do objeto), dada como parâmetro.
Objetivo claro: obter uma fórmula algébrica
.
Passo 2
Vou introduzir as fórmulas que vamos usar e explicar cada símbolo com calma.
- Equação dos espelhos esféricos (fórmula fundamental):
onde:
-
é a distância do objeto ao vértice do espelho, -
é a distância da imagem ao vértice do espelho, -
é a distância focal.
Esta fórmula relaciona as distâncias objetualmente e imagem com a focal. -
Definição de ampliação
:
onde:
-
é a altura do objeto, -
é a altura da imagem.
A segunda igualdadevem da semelhança de triângulos que aparece na formação da imagem por um espelho esférico; o sinal negativo indica que, quando a imagem é real, ela fica invertida (altura com sinal oposto).
Expliquei o que cada variável significa para você não ficar perdido na prova.
Passo 3
Isolar
em função de
e
usando a definição de ampliação. Da igualdade
passamos
para o outro lado:
Aqui estou fazendo álgebra elementar: multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
.
Passo 4
Substituir a expressão de
na equação dos espelhos. A equação dos espelhos é
Substituindo
obtemos
Agora simplifico o termo
. Lembrando que
, então
Portanto a equação fica
Passo 5
Continuar a simplificação algébrica para isolar
. Somando os dois termos do lado direito com denominador comum
:
Assim
Agora isolo
multiplicando ambos os lados por
e por
(ou invertendo ambos os lados):
Pronto: chegamos à expressão desejada. Vou comentar rapidamente o significado prático: como
pode ser negativo (imagem real invertida), o fator
pode ser maior que 1; tudo coerente com os sinais da ótica geométrica usando as convenções adotadas.
Passo 6
Exemplo rápido para fixar (mais didático): suponha
cm e que a ampliação seja
(imagem invertida e duas vezes maior). Pela fórmula
ou seja, a imagem está a
cm do vértice. Podemos verificar:
cm; checando a equação dos espelhos
(que é verdadeira), então tudo bateu certinho.