1.39

Deduz a expressão da distância i entre a imagem e o vértice de um espelho esférico em função da distância focal f e da ampliação m.

Passo 1

O enunciado pede: deduzir uma expressão para a distância da imagem ao vértice do espelho, chamada de i, em função da distância focal f e da ampliação m.
Informações e símbolos dados:
  • i: distância da imagem ao vértice do espelho (queremos expressar i em função de f e m).
  • f: distância focal do espelho (dada).
  • m: ampliação (razão entre altura da imagem e altura do objeto), dada como parâmetro.
Objetivo claro: obter uma fórmula algébrica \,i=\text{algo em }f\text{ e }m\,.

Passo 2

Vou introduzir as fórmulas que vamos usar e explicar cada símbolo com calma.
  • Equação dos espelhos esféricos (fórmula fundamental):
\frac{1}{f}=\frac{1}{o}+\frac{1}{i},
onde:
  • o é a distância do objeto ao vértice do espelho,
  • i é a distância da imagem ao vértice do espelho,
  • f é a distância focal.
    Esta fórmula relaciona as distâncias objetualmente e imagem com a focal.
  • Definição de ampliação m:
m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{i}{o},
onde:
  • h_o é a altura do objeto,
  • h_i é a altura da imagem.
    A segunda igualdade m=-\dfrac{i}{o} vem da semelhança de triângulos que aparece na formação da imagem por um espelho esférico; o sinal negativo indica que, quando a imagem é real, ela fica invertida (altura com sinal oposto).
Expliquei o que cada variável significa para você não ficar perdido na prova.

Passo 3

Isolar o em função de i e m usando a definição de ampliação. Da igualdade
m=-\frac{i}{o}
passamos o para o outro lado:
o=-\frac{i}{m}.
Aqui estou fazendo álgebra elementar: multiplicando ambos os lados por o e dividindo por m.

Passo 4

Substituir a expressão de o na equação dos espelhos. A equação dos espelhos é
\frac{1}{f}=\frac{1}{o}+\frac{1}{i}.
Substituindo \;o=-\dfrac{i}{m}\; obtemos
\frac{1}{f}=\frac{1}{-\dfrac{i}{m}}+\frac{1}{i}.
Agora simplifico o termo \dfrac{1}{-\dfrac{i}{m}}. Lembrando que \dfrac{1}{a/b}= \dfrac{b}{a}, então
\frac{1}{-\dfrac{i}{m}}=-\frac{m}{i}.
Portanto a equação fica
\frac{1}{f}=-\frac{m}{i}+\frac{1}{i}.

Passo 5

Continuar a simplificação algébrica para isolar i. Somando os dois termos do lado direito com denominador comum i:
-\frac{m}{i}+\frac{1}{i}=\frac{1-m}{i}.
Assim
\frac{1}{f}=\frac{1-m}{i}.
Agora isolo i multiplicando ambos os lados por i e por f (ou invertendo ambos os lados):
i = f(1-m).
Pronto: chegamos à expressão desejada. Vou comentar rapidamente o significado prático: como m pode ser negativo (imagem real invertida), o fator 1-m pode ser maior que 1; tudo coerente com os sinais da ótica geométrica usando as convenções adotadas.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar (mais didático): suponha f=10 cm e que a ampliação seja m=-2 (imagem invertida e duas vezes maior). Pela fórmula
i=f(1-m)=10\,(1-(-2))=10\cdot3=30\\ \text{cm},
ou seja, a imagem está a 30 cm do vértice. Podemos verificar: o=-\dfrac{i}{m}=-\dfrac{30}{-2}=15 cm; checando a equação dos espelhos \dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{30} (que é verdadeira), então tudo bateu certinho.

Resposta

i=f(1-m)

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