1.38

Deduz a expressão da distância o entre o objeto e o vértice de um espelho esférico em função da distância focal f e da ampliação m.

Passo 1

O enunciado pede: deduzir a expressão da distância o (distância do objeto ao vértice do espelho esférico) em função da distância focal f e da ampliação m.
Informações dadas e incógnitas:
  • Conhecidos: a distância focal \,f\, e a ampliação \,m\,.
  • Pedido: encontrar \,o escrito em termos de \,f e \,m.
  • Variável auxiliar que aparece naturalmente: a distância da imagem ao vértice, que chamaremos de \,i (essa será eliminada durante a dedução).

Passo 2

Apresentar a equação fundamental que relaciona o, i e f.
A lei que relaciona as distâncias em um espelho esférico (na aproximação de paraxial, com convenção de sinais usual) é
\frac{1}{f}=\frac{1}{o}+\frac{1}{i}.
Aqui:
  • \,o\, é a distância do objeto ao vértice do espelho (positiva se o objeto estiver em frente ao espelho);
  • \,i\, é a distância da imagem ao vértice (positiva se a imagem for real e estiver em frente ao espelho, negativa se virtual);
  • \,f\, é a distância focal (positiva para espelho côncavo, negativa para convexo).
    Esta equação é uma relação padrão obtida pela combinação das propriedades geométricas dos raios principais para espelhos esféricos.

Passo 3

Apresentar a definição de ampliação e sua relação com o e i.
A ampliação linear é definida por
m=\frac{h_i}{h_o},
onde h_i é a altura da imagem e h_o é a altura do objeto. Para espelhos (novamente com a convenção de sinais usada em óptica geométrica), essa relação se traduz em
m=-\frac{i}{o}.
Explicação das variáveis nesta fórmula:
  • \,m\, é a ampliação (valor negativo indica imagem invertida em relação ao objeto);
  • \,i\, e \,o\, como definidos antes.
    O sinal menos aparece porque uma imagem real formada por um espelho côncavo fica invertida (altura h_i de sinal oposto a h_o).

Passo 4

Expressar i em função de m e o, e substituir na equação dos espelhos.
Da fórmula da ampliação temos
m=-\frac{i}{o}\quad\Rightarrow\quad i=-m\,o.
Substituindo este valor de i na equação dos espelhos:
\frac{1}{f}=\frac{1}{o}+\frac{1}{i}=\frac{1}{o}+\frac{1}{-m o}.

Passo 5

Fazer a manipulação algébrica passo a passo para isolar o.
Continuando a manipulação:
\frac{1}{f}=\frac{1}{o}-\frac{1}{m o}.
Colocando em denominação comum (m o):
\frac{1}{f}=\frac{m-1}{m o}.
Agora multiplicar ambos os lados por f m o (ou isolar o diretamente):
m o = f(m-1).
Finalmente:
o = f\frac{m-1}{m}.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem com um exemplo numérico para ganhar intuição.
A fórmula encontrada é
o = f\frac{m-1}{m}.
Verificação simples: para uma ampliação \,m=-1 (imagem invertida com mesma magnitude, caso clássico quando o objeto está em o=2f), a fórmula dá
o=f\frac{-1-1}{-1}=f\frac{-2}{-1}=2f,
o que bate com a expectativa. Observe também que se m for negativo (imagem real e invertida) o resultado pode ser maior que f, conforme esperado.

Resposta

o = f\,\frac{m-1}{m}

Exercícios relacionados