1.38
Deduz a expressão da distância
entre o objeto e o vértice de um espelho esférico em função da distância focal
e da ampliação
.
Passo 1
O enunciado pede: deduzir a expressão da distância
(distância do objeto ao vértice do espelho esférico) em função da distância focal
e da ampliação
.
Informações dadas e incógnitas:
- Conhecidos: a distância focal
e a ampliação . - Pedido: encontrar
escrito em termos de e . - Variável auxiliar que aparece naturalmente: a distância da imagem ao vértice, que chamaremos de
(essa será eliminada durante a dedução).
Passo 2
Apresentar a equação fundamental que relaciona
,
e
.
A lei que relaciona as distâncias em um espelho esférico (na aproximação de paraxial, com convenção de sinais usual) é
Aqui:
-
é a distância do objeto ao vértice do espelho (positiva se o objeto estiver em frente ao espelho); -
é a distância da imagem ao vértice (positiva se a imagem for real e estiver em frente ao espelho, negativa se virtual); -
é a distância focal (positiva para espelho côncavo, negativa para convexo).
Esta equação é uma relação padrão obtida pela combinação das propriedades geométricas dos raios principais para espelhos esféricos.
Passo 3
Apresentar a definição de ampliação e sua relação com
e
.
A ampliação linear é definida por
onde
é a altura da imagem e
é a altura do objeto. Para espelhos (novamente com a convenção de sinais usada em óptica geométrica), essa relação se traduz em
Explicação das variáveis nesta fórmula:
-
é a ampliação (valor negativo indica imagem invertida em relação ao objeto); -
e como definidos antes.
O sinal menos aparece porque uma imagem real formada por um espelho côncavo fica invertida (alturade sinal oposto a ).
Passo 4
Expressar
em função de
e
, e substituir na equação dos espelhos.
Da fórmula da ampliação temos
Substituindo este valor de
na equação dos espelhos:
Passo 5
Fazer a manipulação algébrica passo a passo para isolar
.
Continuando a manipulação:
Colocando em denominação comum
:
Agora multiplicar ambos os lados por
(ou isolar
diretamente):
Finalmente:
Passo 6
Interpretação rápida e checagem com um exemplo numérico para ganhar intuição.
A fórmula encontrada é
Verificação simples: para uma ampliação
(imagem invertida com mesma magnitude, caso clássico quando o objeto está em
), a fórmula dá
o que bate com a expectativa. Observe também que se
for negativo (imagem real e invertida) o resultado pode ser maior que
, conforme esperado.