1.45

Um objeto é colocado em frente a uma lente delgada convergente. Descreva a imagem, sabendo que: (a) o objeto está situado a uma distância da lente maior do que a distância focal, (b) o objeto está situado entre o foco e a lente.

Passo 1

O enunciado pede que se descreva a imagem formada por uma lente delgada convergente para dois casos:
  • (a) o objeto está situado a uma distância da lente maior do que a distância focal;
  • (b) o objeto está situado entre o foco e a lente.
Informações dadas (explicitadas):
  • A lente é delgada e convergente (portanto tem distância focal positiva, denotada por f>0).
  • Em (a) o objeto fica a uma distância d_o tal que d_o>f.
  • Em (b) o objeto fica a uma distância d_o tal que 0<d_o<f.
O que é pedido: para cada caso, descrever se a imagem é real ou virtual, direita (não invertida) ou invertida, aumentada ou reduzida, e onde ela se localiza qualitativamente (em que lado da lente e se está além de f, entre f e 2f, etc.).

Passo 2

Fórmulas e convenções que usaremos (explicadas devagarinho).
  • Variáveis:
    • f = distância focal da lente (positivo para lente convergente).
    • d_o = distância do objeto à lente (medida ao longo do eixo óptico, positiva para objetos à esquerda da lente, onde a luz incide).
    • d_i = distância da imagem à lente (positiva se a imagem estiver do outro lado da lente em relação ao objeto — imagem real; negativa se estiver do mesmo lado do objeto — imagem virtual).
    • h_o = altura do objeto; h_i = altura da imagem.
  • Equação das lentes delgadas (regra fundamental):
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}.
  • Explicação: é a relação que liga onde o objeto está e onde a imagem aparece para uma lente delgada. Serve para calcular d_i quando se conhece f e d_o.
  • Fórmula da ampliação (magnificação):
m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{d_i}{d_o}.
  • Explicação: o sinal de m indica orientação (se m>0 imagem direita/verticalmente não invertida; se m<0 imagem invertida). O valor absoluto |m| indica se a imagem é ampliada ( |m|>1) ou reduzida ( |m|<1).
  • Três raios principais para construir imagens (regra prática para esboço de diagrama de raios):
    1. Raio paralelo ao eixo principal dá, depois da lente, um raio que passa pelo foco do outro lado.
    2. Raio que passa pelo centro óptico da lente segue praticamente sem desvio.
    3. Raio que vem na direção do foco do lado do objeto sai da lente paralelo ao eixo.
    • Esses três raios (duas direções são suficientes) ajudam a localizar a interseção que é a imagem (real) ou a interseção das extensões (virtual).

Passo 3

Manipulação algébrica útil (para identificar o sinal de d_i sem números).
A partir de
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}
isolamos d_i:
\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d_o}=\frac{d_o-f}{f\,d_o},
logo
d_i=\frac{f\,d_o}{d_o-f}.
Observe o sinal de d_i dependendo de d_o:
  • Se d_o>f então d_o-f>0 \Rightarrow d_i>0 (imagem real, do outro lado da lente).
  • Se d_o<f então d_o-f<0 \Rightarrow d_i<0 (imagem virtual, do mesmo lado que o objeto).
Isto já dá a diferença qualitativa entre os dois casos pedida no enunciado. Agora vamos detalhar orientação e tamanho.

Passo 4

Caso (a): objeto com d_o>f (objeto além do foco).
  • Pelo passo anterior, d_i=\dfrac{f\,d_o}{d_o-f}>0. Conclusão imediata: a imagem é real e está no lado oposto da lente (lado de saída da luz).
  • Orientação: use a ampliação m=-\dfrac{d_i}{d_o}. Como d_i>0 e d_o>0, tem-se m<0. Portanto a imagem é invertida.
  • Tamanho (reduzida / igual / aumentada): depende da relação entre d_o e 2f. Vamos explicar as três subsituações úteis na prova:
    • Se d_o>2f (objeto além de 2f): então d_i fica entre f e 2f; exemplo: lente com f=10\\ \text{cm}, d_o=30\\ \text{cm} d_i=15\\ \text{cm}. Aqui |m|<1 → imagem reduzida.
    • Se d_o=2f: então d_i=2f. Imagem real, invertida e de mesmo tamanho ( |m|=1).
    • Se f<d_o<2f: então d_i>2f; imagem real, invertida e aumentada ( |m|>1). Ex.: f=10\\ \text{cm}, d_o=15\\ \text{cm} d_i=30\\ \text{cm}, |m|=2.
  • Como visualizar com raios: pegue um ponto no objeto; o raio paralelo vai, após a lente, passar pelo foco e o raio pelo centro segue reto; eles se cruzam do outro lado da lente em um ponto real, definindo a imagem invertida.
  • Resumo do caso (a): imagem real, invertida; pode ser reduzida, igual ou aumentada conforme d_o compare com 2f; localizada do outro lado da lente a uma distância d_i>0 dada por d_i=\dfrac{f\,d_o}{d_o-f}.

Passo 5

Caso (b): objeto entre o foco e a lente, 0<d_o<f.
  • Pela fórmula, d_i=\dfrac{f\,d_o}{d_o-f} tem denominador negativo (pois d_o-f<0), logo d_i<0. Conclusão imediata: a imagem é virtual e está do mesmo lado do objeto (lado de entrada da luz).
  • Orientação: m=-\dfrac{d_i}{d_o}. Como d_i<0 e d_o>0, tem-se -d_i/d_o>0 m>0. Logo a imagem é direita (não invertida).
  • Tamanho: |m|>1 sempre neste caso, porque |d_i|>d_o quando d_o<f. Assim, a imagem é aumentada (é por isso que uma lente convergente usada com o objeto entre lente e foco funciona como uma lupa).
  • Visualização por raios: os raios que saem da lente divergem (não se cruzam do outro lado). Se estender mentalmente esses raios para trás (do lado do objeto), suas extensões se cruzam num ponto virtual — é aí que a imagem virtual, direita e ampliada aparece.
  • Resumo do caso (b): imagem virtual, direita (não invertida), aumentada, situada do mesmo lado do objeto a uma distância |d_i|=\dfrac{f\,d_o}{f-d_o} medida a partir da lente (note que escrevendo em valor positivo para distância atrás da lente usamos |d_i|).

Passo 6

Dois exemplos numéricos curtos (para fixar e praticar — faça igual na prova):
  • Exemplo para (a): f=10\\ \text{cm},\\ d_o=15\\ \text{cm}>f.
d_i=\frac{f\,d_o}{d_o-f}=\frac{10\cdot15}{15-10}=\frac{150}{5}=30\\ \text{cm}.
m=-\frac{d_i}{d_o}=-\frac{30}{15}=-2.
Interpretação: imagem real, invertida, aumentada por fator 2, situada a 30\\ \text{cm} do centro da lente no lado oposto ao objeto.
  • Exemplo para (b): f=10\\ \text{cm},\\ d_o=5\\ \text{cm}<f.
d_i=\frac{10\cdot5}{5-10}=\frac{50}{-5}=-10\\ \text{cm}.
m=-\frac{d_i}{d_o}=-\frac{-10}{5}=+2.
Interpretação: d_i<0 → imagem virtual a 10\\ \text{cm} do centro da lente no mesmo lado do objeto, direita e ampliada por fator 2.

Passo 7

Receita de prova — passos práticos que você pode usar rápido durante a prova:
  1. Identifique f e d_o.
  2. Use \displaystyle d_i=\frac{f\,d_o}{d_o-f} (ou a forma \frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}) para achar d_i.
  3. Se d_i>0 a imagem é real (do outro lado da lente); se d_i<0 é virtual (mesmo lado do objeto).
  4. Calcule m=-\dfrac{d_i}{d_o}. Se m<0 está invertida; se m>0 está direita. |m| diz se é ampliada ( |m|>1) ou reduzida ( |m|<1).
  5. Se ficar sem tempo, use a regra qualitativa: objeto além de f → imagem real e invertida; objeto entre lente e foco → imagem virtual, direita e aumentada.

Resposta

(a) A imagem é real e invertida; está do lado oposto da lente a uma distância d_i=\dfrac{f\,d_o}{d_o-f}>0. O tamanho depende de d_o: se d_o>2f a imagem é reduzida, se d_o=2f tem o mesmo tamanho, se f<d_o<2f é aumentada.
(b) A imagem é virtual, direita (não invertida) e aumentada; está do mesmo lado do objeto a uma distância d_i=\dfrac{f\,d_o}{d_o-f}<0 (ou seja, |d_i|=\dfrac{f\,d_o}{f-d_o} medida a partir da lente).

Exercícios relacionados