1.44
Deduza a equação usada normalmente para a determinação da distância focal de uma lente delgada (equação do fabricante de lentes) em função dos raios de curvatura das superfícies externas da lente e em função do índice de refração da lente.
Passo 1
O que o enunciado pede e que informações temos (resumido e claro):
- Pede: deduzir a equação normalmente usada para determinar a distância focal
de uma lente delgada em função dos raios de curvatura das superfícies da lente e do índice de refração da lente. - Dados relevantes que vamos usar:
- A lente tem duas superfícies esféricas com raios de curvatura
(superfície de entrada, voltada para a fonte) e (superfície de saída). - O índice de refração do meio exterior é
(normalmente ar, ); o índice da lente é . - A lente é delgada: a espessura
é desprezível comparada às distâncias ópticas envolvidas, então podemos tomar na etapa final.
- A lente tem duas superfícies esféricas com raios de curvatura
- Pergunta explícita: obter a relação entre
, , e (a equação do fabricante de lentes para lente delgada). - Observação: ao longo da dedução vou usar a convenção de sinais usual em óptica geométrica para superfícies esféricas (vou explicitar quando necessário).
Passo 2
Ferramenta básica: refração em superfície esférica (a fórmula que relaciona distâncias objeto e imagem para um único retificador esférico).
- Conceitos que vamos precisar:
- Lei de Snell (índices e ângulos): quando um raio passa de meio com índice
para meio com índice , vale . - Aproximação paraxial (pequenos ângulos): para ângulos pequenos em radianos,
e . Isso nos permite linearizar Snell e trabalhar com razões de distâncias.
- Lei de Snell (índices e ângulos): quando um raio passa de meio com índice
- Situação geométrica (uma superfície esférica):
- Seja uma superfície esférica de raio
que separa (à esquerda) e (à direita). Um objeto está à distância da vértice (medida ao longo do eixo óptico, com sinal conforme convenção) e a imagem forma-se à distância do vértice no outro lado.
- Seja uma superfície esférica de raio
- Derivação (passo a passo, geométrica e com aproximação paraxial):
- Tome um raio próximo ao eixo que intercepta a superfície a uma altura
pequena. O ângulo do raio incidente com o eixo é aproximadamente . O ângulo do raio refratado com o eixo é aproximadamente . - O ângulo entre a normal à superfície e o eixo (para um ponto a altura
) é aproximadamente (com sinal conforme a posição do centro de curvatura). - Os ângulos entre raio e normal (que entram na lei de Snell) são
e (atenção aos sinais; isso vem da geometria local). - Aplicando Snell linearizado:
. Substituindo as aproximações: . - Reescrevendo em termos de
: Dividindo por (não nulo) e rearranjando:
- Tome um raio próximo ao eixo que intercepta a superfície a uma altura
- Conclusão desta etapa: para refração numa superfície esférica vale a fórmula clássica
onde é a distância do objeto ao vértice (positiva se o objeto está no lado do meio para o qual o raio se aproxima), é a distância da imagem ao vértice (positiva se a imagem está no lado do meio para o qual o raio sai), e é o raio de curvatura com sinal positivo se o centro de curvatura estiver à direita do vértice (segundo a convenção adotada).
Passo 3
Aplicar a fórmula à primeira superfície da lente, assumindo que o meio exterior é ar (
) e que raios paralelos (objeto no infinito) incidem na lente a partir da esquerda.
- Para a primeira superfície:
-
(ar à esquerda), (vidro da lente à direita). - Objeto no infinito
, logo . - A fórmula da superfície dá:
portanto - Interpretação: a primeira superfície, sozinha, formaria (para os raios paralelos) uma imagem localizada a
medida para a direita do vértice da primeira superfície (normalmente dentro do material da lente).
-
Passo 4
Aplicar a fórmula à segunda superfície para obter a imagem final no ar (o foco), usando como “objeto” a imagem produzida pela primeira superfície.
- Para a segunda superfície:
- Agora o raio chega vindo do material da lente (
) e sai para o ar ( ). - Seja
a distância focal final medida a partir do vértice da segunda superfície (imagem final de raios paralelos). - Precisamos da distância do objeto (imagem 1) ao vértice da segunda superfície. Se a espessura da lente for
, então a distância do objeto para a segunda superfície é (com sinais; no caso da lente delgada tomamos ). Para manter clareza, primeiro escrevemos a fórmula geral e depois simplificamos para lente delgada.
- Agora o raio chega vindo do material da lente (
- Fórmula geral para a segunda superfície:
(aqui substituímos e .) - Para lente delgada: tomamos
, então . Por que negativo? Porque a imagem produzida pela primeira superfície está à direita do primeiro vértice, e está à esquerda do segundo vértice quando a lente é muito fina; assim, relativa ao vértice da segunda superfície, esse “objeto” está do lado oposto ao do sentido de incidência (logo tem sinal negativo). Em termos práticos, para derivação rápida usamos quando . - Substituindo
na equação da segunda superfície e usando o valor de do Passo 3: - Primeiro, compute
. - Mas
(do Passo 3). Logo - Inserindo na equação da segunda superfície:
- Note que
. Então: - Somando
a ambos os lados:
- Primeiro, compute
Passo 5
Interpretação final, convenções e observações práticas:
- A fórmula obtida é a equação do fabricante (lensmaker equation) para uma lente delgada imersa em ar:
- Significado das variáveis:
-
é a distância focal da lente (positiva para lente convergente). -
é o índice de refração do material da lente (assumimos o meio externo com índice ). -
e são os raios de curvatura das superfícies, com a convenção de sinais onde é positivo se o centro de curvatura está à direita do vértice da superfície (isto é, para raios que vêm da esquerda: convexidade para a direita dá ). É importante usar consistentemente essa convenção ao aplicar a fórmula.
-
- Observações extras (úteis na prova):
- Se a lente não for delgada, aparece um termo adicional com a espessura
; a forma completa é mais longa e envolve produtos e . Para peças práticas e para fabricantes de lentes delgadas a fórmula acima é a que costuma ser usada. - Exemplo simples: para uma lente biconvexa simétrica
, (mesma curvatura, faces opostas), a fórmula dá , que é um resultado intuitivo: quanto maior o índice ou maior a curvatura (menor ), menor .
- Se a lente não for delgada, aparece um termo adicional com a espessura