1.44

Deduza a equação usada normalmente para a determinação da distância focal de uma lente delgada (equação do fabricante de lentes) em função dos raios de curvatura das superfícies externas da lente e em função do índice de refração da lente.

Passo 1

O que o enunciado pede e que informações temos (resumido e claro):
  • Pede: deduzir a equação normalmente usada para determinar a distância focal f de uma lente delgada em função dos raios de curvatura das superfícies da lente e do índice de refração da lente.
  • Dados relevantes que vamos usar:
    • A lente tem duas superfícies esféricas com raios de curvatura R_1 (superfície de entrada, voltada para a fonte) e R_2 (superfície de saída).
    • O índice de refração do meio exterior é n_0 (normalmente ar, n_0\approx1); o índice da lente é n.
    • A lente é delgada: a espessura t é desprezível comparada às distâncias ópticas envolvidas, então podemos tomar t\to 0 na etapa final.
  • Pergunta explícita: obter a relação entre f, R_1, R_2 e n (a equação do fabricante de lentes para lente delgada).
  • Observação: ao longo da dedução vou usar a convenção de sinais usual em óptica geométrica para superfícies esféricas (vou explicitar quando necessário).

Passo 2

Ferramenta básica: refração em superfície esférica (a fórmula que relaciona distâncias objeto e imagem para um único retificador esférico).
  • Conceitos que vamos precisar:
    • Lei de Snell (índices e ângulos): quando um raio passa de meio com índice n_1 para meio com índice n_2, vale n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2.
    • Aproximação paraxial (pequenos ângulos): para ângulos pequenos em radianos, \sin\theta\approx\theta e \tan\theta\approx\theta. Isso nos permite linearizar Snell e trabalhar com razões de distâncias.
  • Situação geométrica (uma superfície esférica):
    • Seja uma superfície esférica de raio R que separa n_1 (à esquerda) e n_2 (à direita). Um objeto está à distância s da vértice (medida ao longo do eixo óptico, com sinal conforme convenção) e a imagem forma-se à distância s' do vértice no outro lado.
  • Derivação (passo a passo, geométrica e com aproximação paraxial):
    1. Tome um raio próximo ao eixo que intercepta a superfície a uma altura y pequena. O ângulo do raio incidente com o eixo é aproximadamente \theta_1 \approx y/s. O ângulo do raio refratado com o eixo é aproximadamente \theta_2 \approx y/s'.
    2. O ângulo entre a normal à superfície e o eixo (para um ponto a altura y) é aproximadamente \alpha \approx y/R (com sinal conforme a posição do centro de curvatura).
    3. Os ângulos entre raio e normal (que entram na lei de Snell) são \phi_1 \approx \alpha - \theta_1 e \phi_2 \approx \alpha - \theta_2 (atenção aos sinais; isso vem da geometria local).
    4. Aplicando Snell linearizado: n_1\phi_1 = n_2\phi_2. Substituindo as aproximações: n_1(\alpha-\theta_1)=n_2(\alpha-\theta_2).
    5. Reescrevendo em termos de s,s',R: n_1\!\left(\frac{y}{R}-\frac{y}{s}\right)=n_2\!\left(\frac{y}{R}-\frac{y}{s'}\right).Dividindo por y (não nulo) e rearranjando: \frac{n_1}{s} + \frac{n_2}{s'} = \frac{n_2 - n_1}{R}.
  • Conclusão desta etapa: para refração numa superfície esférica vale a fórmula clássica \frac{n_1}{s} + \frac{n_2}{s'} = \frac{n_2 - n_1}{R},onde s é a distância do objeto ao vértice (positiva se o objeto está no lado do meio n_1 para o qual o raio se aproxima), s' é a distância da imagem ao vértice (positiva se a imagem está no lado do meio n_2 para o qual o raio sai), e R é o raio de curvatura com sinal positivo se o centro de curvatura estiver à direita do vértice (segundo a convenção adotada).

Passo 3

Aplicar a fórmula à primeira superfície da lente, assumindo que o meio exterior é ar ( n_0=1) e que raios paralelos (objeto no infinito) incidem na lente a partir da esquerda.
  • Para a primeira superfície:
    • n_1 = 1 (ar à esquerda), n_2 = n (vidro da lente à direita).
    • Objeto no infinito \Rightarrow s=\infty, logo \dfrac{n_1}{s}=0.
    • A fórmula da superfície dá: 0 + \frac{n}{s_1'} = \frac{n-1}{R_1},portanto \frac{n}{s_1'} = \frac{n-1}{R_1} \quad\Rightarrow\quad s_1' = \frac{n\,R_1}{\,n-1\,}.
    • Interpretação: a primeira superfície, sozinha, formaria (para os raios paralelos) uma imagem localizada a s_1' medida para a direita do vértice da primeira superfície (normalmente dentro do material da lente).

Passo 4

Aplicar a fórmula à segunda superfície para obter a imagem final no ar (o foco), usando como “objeto” a imagem produzida pela primeira superfície.
  • Para a segunda superfície:
    • Agora o raio chega vindo do material da lente ( n_1=n) e sai para o ar ( n_2=1).
    • Seja f a distância focal final medida a partir do vértice da segunda superfície (imagem final de raios paralelos).
    • Precisamos da distância do objeto (imagem 1) ao vértice da segunda superfície. Se a espessura da lente for t, então a distância do objeto para a segunda superfície é s_2 = t - s_1' (com sinais; no caso da lente delgada tomamos t\approx 0). Para manter clareza, primeiro escrevemos a fórmula geral e depois simplificamos para lente delgada.
  • Fórmula geral para a segunda superfície: \frac{n}{s_2} + \frac{1}{f} = \frac{1- n}{R_2}.(aqui substituímos s' = f e n_2 - n_1 = 1 - n.)
  • Para lente delgada: tomamos t\to 0, então s_2 \approx -s_1'. Por que negativo? Porque a imagem produzida pela primeira superfície está à direita do primeiro vértice, e está à esquerda do segundo vértice quando a lente é muito fina; assim, relativa ao vértice da segunda superfície, esse “objeto” está do lado oposto ao do sentido de incidência (logo s_2 tem sinal negativo). Em termos práticos, para derivação rápida usamos s_2 = -s_1' quando t\to 0.
  • Substituindo s_2 = -s_1' na equação da segunda superfície e usando o valor de s_1' do Passo 3:
    1. Primeiro, compute \dfrac{n}{s_2} = \dfrac{n}{-s_1'} = -\dfrac{n}{s_1'}.
    2. Mas \dfrac{n}{s_1'} = \dfrac{n-1}{R_1} (do Passo 3). Logo \frac{n}{s_2} = -\frac{n-1}{R_1}.
    3. Inserindo na equação da segunda superfície: -\frac{n-1}{R_1} + \frac{1}{f} = \frac{1-n}{R_2}.
    4. Note que \frac{1-n}{R_2} = -\frac{n-1}{R_2}. Então: -\frac{n-1}{R_1} + \frac{1}{f} = -\frac{n-1}{R_2}.
    5. Somando \dfrac{n-1}{R_1} a ambos os lados: \frac{1}{f} = (n-1)\!\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right).

Passo 5

Interpretação final, convenções e observações práticas:
  • A fórmula obtida é a equação do fabricante (lensmaker equation) para uma lente delgada imersa em ar: \frac{1}{f} = (n-1)\!\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right).
  • Significado das variáveis:
    • f é a distância focal da lente (positiva para lente convergente).
    • n é o índice de refração do material da lente (assumimos o meio externo com índice 1).
    • R_1 e R_2 são os raios de curvatura das superfícies, com a convenção de sinais onde R é positivo se o centro de curvatura está à direita do vértice da superfície (isto é, para raios que vêm da esquerda: convexidade para a direita dá R>0). É importante usar consistentemente essa convenção ao aplicar a fórmula.
  • Observações extras (úteis na prova):
    • Se a lente não for delgada, aparece um termo adicional com a espessura t; a forma completa é mais longa e envolve produtos R_1R_2 e t. Para peças práticas e para fabricantes de lentes delgadas a fórmula acima é a que costuma ser usada.
    • Exemplo simples: para uma lente biconvexa simétrica R_1 = R, R_2 = -R (mesma curvatura, faces opostas), a fórmula dá \dfrac{1}{f}=(n-1)\left(\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{-R}\right) = 2(n-1)/R, que é um resultado intuitivo: quanto maior o índice ou maior a curvatura (menor R), menor f.

Resposta

\frac{1}{f} = (n-1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)

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