42-\int \frac{1}{x(x+1)} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a expressão
Aqui o conteúdo é integração de função racional por frações parciais. Vamos primeiro achar
Passo 2
Fazemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Comparando coeficientes de
e termo independente, vem
logo
e
. Assim
Passo 3
Agora integramos termo a termo:
Passo 4
Voltando à expressão original, substituímos a integral:
Podemos agrupar constantes e usar logaritmo único: