42-\int \frac{1}{x(x+1)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
42 \;-\;\int \frac{1}{x(x+1)}\,dx
Aqui o conteúdo é integração de função racional por frações parciais. Vamos primeiro achar
\displaystyle \int \frac{1}{x(x+1)}\,dx

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{x(x+1)} \;=\;\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}.
Multiplicando ambos os lados por x(x+1) obtemos
1 = A(x+1)+B\,x = (A+B)x + A.
Comparando coeficientes de x e termo independente, vem
A+B=0, \quad A=1
logo A=1 e B=-1. Assim
\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
\int \frac{1}{x(x+1)}\,dx = \int\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\Bigr)\,dx = \int\frac{1}{x}\,dx \;-\;\int\frac{1}{x+1}\,dx = \ln\bigl|x\bigr| - \ln\bigl|x+1\bigr| + C.

Passo 4

Voltando à expressão original, substituímos a integral:
42 \;-\;\int \frac{1}{x(x+1)}\,dx = 42 - \bigl(\ln|x| - \ln|x+1|\bigr) + C = 42 - \ln\bigl|x\bigr| + \ln\bigl|x+1\bigr| + C.
Podemos agrupar constantes e usar logaritmo único:
42 + \ln\!\Bigl|\frac{x+1}{x}\Bigr| + C.

Resposta

42 - \ln\bigl|x\bigr| + \ln\bigl|x+1\bigr| + C \quad\text{ou}\quad 42 + \ln\biggl|\frac{x+1}{x}\biggr| + C.

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