-6 Uma pilha comum de lanterna pode fornecer uma energia da ordem de 2,0 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~h} antes de se esgotar. (a) Se uma pilha custa \mathrm{R} \ 0,80 , quanto custa manter acesa uma lâmpada de 100 W duranteâ8,0 \mathrm{~h} usando pilhas? (b) Quanto custa manter acesa a mesma lâmpada usando a eletricidade da tomada se o preço da energia elétrica é R\âçéé 0,06 por quilowatt-hora?
-7 Um fio com uma resistência de 5,0 \Omega é ligado a uma bateria cuja força eletromotriz \mathscr{c}𝒸 é 2,0 \mathrm{~V} e cuja resistência interna é 1,0 \Omega. Em 2,0 \mathrm{~min}, (a) qual é a energia química consumida pela bateria? (b) Qual é a energia dissipada pelo fio? (c) Qual é a energia dissipada pela bateria?

Passo 1

Vou separar claramente o que cada item pede e quais dados o enunciado fornece.
Para o exercício -6:
  • Dados:
    • Uma pilha fornece 2,0\\ \mathrm{W\cdot h} de energia antes de se esgotar.
    • O custo de uma pilha é R\$\,0,80.
    • A lâmpada tem potência 100\\ \mathrm{W}.
    • Tempo de funcionamento desejado: 8,0\\ \mathrm{h}.
    • Preço da energia elétrica da tomada: R\$\,0,06 por quilowatt-hora.
  • Perguntas:
    • (a) Quanto custa manter acesa a lâmpada usando pilhas?
    • (b) Quanto custa manter acesa a mesma lâmpada usando eletricidade da tomada?
Para o exercício -7:
  • Dados:
    • Resistência do fio (resistência externa): R=5,0\\ \Omega.
    • Força eletromotriz da bateria: \mathcal{E}=2,0\\ \mathrm{V}.
    • Resistência interna da bateria: r=1,0\\ \Omega.
    • Tempo de funcionamento: 2,0\\ \mathrm{min}.
  • Perguntas:
    • (a) Qual é a energia química consumida pela bateria nesse tempo?
    • (b) Qual é a energia dissipada pelo fio (resistor externo) nesse tempo?
    • (c) Qual é a energia dissipada pela resistência interna da bateria nesse tempo?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática, sem enrolação):
  1. Energia associada a potência:
  • Potência P é a taxa de consumo de energia. A energia consumida em um tempo t é
E = P\,t,
onde E tem unidades de energia (por ex. \mathrm{W\cdot h} ou joule), P em watts e t em horas se quisermos \mathrm{W\cdot h}.
  1. Conversão entre unidades:
  • 1\\ \mathrm{kW\cdot h} = 1000\\ \mathrm{W} \times 1\\ \mathrm{h} = 1000\\ \mathrm{W\cdot h}.
  • (Se necessário em joules:) 1\\ \mathrm{W\cdot h} = 3600\\ \mathrm{J}. Aqui não é obrigatório converter para joules, mas eu mencionei caso você veja isso na prova.
  1. Para circuitos com bateria:
  • Corrente no circuito com resistência externa R e resistência interna r é dada por
I = \frac{\mathcal{E}}{R + r},
pois a tensão disponível \mathcal{E} é “consumida” nas resistências em série.
  • Potência fornecida pela bateria (energia química que ela converte por segundo) é P_{\text{bateria}} = \mathcal{E} I.
  • Potência dissipada numa resistência x é P_x = I^2 x.
  • Energia em tempo t é E = P\,t.
  • Portanto, energia química consumida em tempo t:
E_{\text{chem}} = \mathcal{E} I t.
  • Energia dissipada na resistência externa R:
E_R = I^2 R t.
  • Energia dissipada na resistência interna r:
E_r = I^2 r t.
Observação: deve dar E_{\text{chem}} = E_R + E_r por conservação de energia.

Passo 3

Resolvendo o exercício -6 — parte (a): custo usando pilhas.
  1. Energia necessária para a lâmpada por 8,0\\ \mathrm{h}:
E_{\text{lamp}} = P\,t = 100\\ \mathrm{W} \times 8,0\\ \mathrm{h} = 800\\ \mathrm{W\cdot h}.
Explicação: multiplica-se potência pela duração para obter energia em \mathrm{W\cdot h}.
  1. Cada pilha fornece 2,0\\ \mathrm{W\cdot h}. Número de pilhas necessárias:
N = \frac{E_{\text{lamp}}}{E_{\text{pilha}}} = \frac{800\\ \mathrm{W\cdot h}}{2,0\\ \mathrm{W\cdot h}} = 400.
Explicação: dividimos a energia total necessária pela energia que cada pilha entrega.
  1. Custo total comprando 400 pilhas, cada uma custando R\$\,0,80:
\text{Custo}_{\text{pilhas}} = 400 \times R\$\,0,80 = R\$\,320.
Observação: multipliquei o número de pilhas pelo preço unitário; fácil de fazer numa prova de cabeça: 4\times 0,8 = 3,2 e como são centenas, dá 320.

Passo 4

Resolvendo o exercício -6 — parte (b): custo usando eletricidade da tomada.
  1. Convertemos a energia necessária para quilowatt-hora porque o preço é por \mathrm{kW\cdot h}.
E_{\text{lamp}} = 800\\ \mathrm{W\cdot h} = 0,800\\ \mathrm{kW\cdot h},
pois 800\\ \mathrm{W\cdot h} = 800/1000\\ \mathrm{kW\cdot h}.
  1. Preço da eletricidade: R\$\,0,06 por \mathrm{kW\cdot h}. Então o custo é
\text{Custo}_{\text{tomada}} = 0,800\\ \mathrm{kW\cdot h} \times R\$\,0,06/(\mathrm{kW\cdot h}) = R\$\,0,048.
Interpretação: cerca de 4,8 centavos de real. Em provas normalmente você pode arredondar para R\$\,0,048 \approx R\$\,0,05, mas o valor exato é R\$\,0,048.

Passo 5

Agora resolvendo o exercício -7 — preparação e cálculo da corrente.
  1. Converter tempo para segundos (opcional para unidades de joule), mas podemos trabalhar em joules usando segundos. Tempo dado:
t = 2,0\\ \mathrm{min} = 2,0\times 60\\ \mathrm{s} = 120\\ \mathrm{s}.
  1. Corrente no circuito:
I = \frac{\mathcal{E}}{R + r} = \frac{2,0\\ \mathrm{V}}{5,0\\ \Omega + 1,0\\ \Omega} = \frac{2,0}{6,0}\\ \mathrm{A} = 0,333\ldots\\ \mathrm{A}.
É mais prático escrever como fração:
I = \frac{1}{3}\\ \mathrm{A}.
Explicação: a corrente é a tensão total dividida pela resistência total (Lei de Ohm para circuito em série).

Passo 6

Energia química consumida pela bateria (item (a) do -7).
  1. Fórmula já explicada:
E_{\text{chem}} = \mathcal{E} I t.
  1. Substituindo:
E_{\text{chem}} = 2,0\\ \mathrm{V} \times \frac{1}{3}\\ \mathrm{A} \times 120\\ \mathrm{s}.
Cálculo passo a passo:
\frac{1}{3}\times 120 = 40,
logo
E_{\text{chem}} = 2,0 \times 40 = 80\\ \mathrm{J}.
Nota didática: a unidade vem de \mathrm{V\cdot A\cdot s} = \mathrm{J}.

Passo 7

Energia dissipada pelo fio (resistência externa R) — item (b) do -7.
  1. Fórmula:
E_R = I^2 R t.
  1. Substituindo I=\tfrac{1}{3}\\ \mathrm{A}, R=5,0\\ \Omega, t=120\\ \mathrm{s}:
E_R = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \times 5,0 \times 120 = \frac{1}{9}\times 5,0 \times 120.
Cálculo:
5,0\times 120 = 600,
\frac{600}{9} = \frac{200}{3}\\ \mathrm{J} \approx 66,67\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Energia dissipada pela resistência interna da bateria r — item (c) do -7.
  1. Fórmula:
E_r = I^2 r t.
  1. Substituindo r=1,0\\ \Omega:
E_r = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \times 1,0 \times 120 = \frac{1}{9}\times 120 = \frac{120}{9} = \frac{40}{3}\\ \mathrm{J} \approx 13,33\\ \mathrm{J}.
  1. Verificação rápida (conservação de energia):
E_R + E_r = \frac{200}{3} + \frac{40}{3} = \frac{240}{3} = 80\\ \mathrm{J} = E_{\text{chem}},
logo está consistente.

Resposta

R$ 320 (custo com pilhas).\nR$ 0,048 (custo com eletricidade da tomada).\n E_{\text{chem}} = 80\\ \mathrm{J}.\n E_R = \dfrac{200}{3}\\ \mathrm{J} \approx 66,67\\ \mathrm{J}.\n E_r = \dfrac{40}{3}\\ \mathrm{J} \approx 13,33\\ \mathrm{J}.

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