39 Sejam a e b elementos de um grupo multiplicativo tais que a b a b=e (elemento neutro). prove que b a b a=e.

Passo 1

Temos um grupo multiplicativo G e elementos a,bin G tais que
(ab)(ab)=e,
ou seja, (ab)^2=e. Precisamos mostrar que
(ba)(ba)=e,
ou seja, baba=e. Para isso vamos usar a propriedade de inverso de um produto:
(xy)^-1=y^-1x^-1

Passo 2

Da igualdade (ab)^2=e segue que
ab=(ab)^-1
Pelo teorema do inverso de um produto,
(ab)^-1=b^-1a^-1,
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ab=b^-1a^-1

Passo 3

Agora multiplicamos a equação ab=b^-1a^-1 à esquerda por b e à direita por a:
b,(ab),a ;=; b,(b^-1a^-1),a
No lado esquerdo isso é b a b a. No direito, b,b^-1=e e a^-1a=e, então
baba = ecdot e = e

Resposta

baba = e

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