Em uma análise estrutural de uma viga submetida a esforcos, os deslocamentos de pontos sobre a viga podem ser representados por vetores no plano bidimensional indicando o quanto esses pontos se moveram nas direções horizontal e vertical.
Suponha que uma transformação linear T: R^2 R^2 represente o efeito de uma deformação plana aplicada à estrutura. Essa transformação é dada por: ( 3 , 0 pontos)
T(x, y)=(2 x+y, x+3 y)
a) Mostre que T é uma transformação linear.
b) Encontre a matriz associada a T.
c) Calcule a imagem do vetor v=(1,2) e interprete fisicamente o significado desse resultado.
d) Determine se o vetor u=(3,5) está no conjunto imagem da transformação.
e) Qual a importância de representações lineares como essa na análise de deformações em estruturas da engenharia civil.

Passo 1

O enunciado define a transformação Tcolon R^2toR^2 dada por
T(x,y) = (2x + y,; x + 3y)
O que precisamos usar aqui é a definição de transformação linear (preservar soma e multiplicação por escalar), a forma matricial de uma aplicação de R^2 em R^2, e conceitos de imagem de T. Também vamos interpretar fisicamente o vetor resultante como deslocamento numa viga.

Passo 2

Para mostrar que T é linear, tomamos vetores arbitrários (x1,y1) e (x2,y2) em R^2 e um escalar c. Então:
Tl((x1,y1)+(x2,y2)r) = T(x1+x2,;y1+y2) = l(2(x1+x2)+(y1+y2),;(x1+x2)+3(y1+y2)r)
= (2x1+y1,;x1+3y1);+;(2x2+y2,;x2+3y2) = T(x1,y1) + T(x2,y2)
E para o escalar c:
Tl(c,(x1,y1)r) = T(cx1,;cy1) = l(2(cx1)+(c y1),;(c x1)+3(c y1)r) = c,(2x1+y1,;x1+3y1) = c,T(x1,y1)
Como T preserva soma e multiplicação por escalar, concluímos que T é linear.

Passo 3

Para achar a matriz associada a T, aplicamos T aos vetores da base canônica e1=(1,0) e e2=(0,1):
T(1,0) = (2cdot 1+0,;1+3cdot 0) = (2,1), T(0,1) = (2cdot 0+1,;0+3cdot 1) = (1,3)
A matriz A que realiza T(x,y)=A,(x,y)^T tem essas imagens como colunas, logo
A = 2 & 1 [6pt] 1 & 3 ]

Passo 4

Para vec v = (1,2), calculamos
T(1,2) = l(2cdot1+2,;1+3cdot2r) = (4,7)
Fisicamente, isso significa que o ponto que inicialmente se deslocaria por (1,2) sofre, sob a deformação plana, um deslocamento total de 4 unidades na direção horizontal e 7 unidades na direção vertical.

Passo 5

Para verificar se
Da primeira equação vem , concluímos que pertence à imagem de .

Passo 6

Em engenharia civil, representar deformações por transformações lineares e matrizes é fundamental porque, para pequenas deformações, presume-se linearidade do material e das equações de equilíbrio. Isso permite usar o princípio da superposição, montar matrizes de rigidez e resolver sistemas de equações de forma eficiente, além de analisar características como modos próprios de vibração e direções principais de deformação.

Resposta

a) T é linear pois preserva soma e multiplicação por escalar.
b) A matriz associada é
2 & 1 1 & 3
c) T(1,2)=(4,7), ou seja, o ponto se desloca 4 unidades na horizontal e 7 na vertical.
d) Sim, ,(3,5)inIm(T), pois a preimagem é l(tfrac45,tfrac75r).
e) Modelos lineares permitem a aplicação do princípio da superposição, montagem de matrizes de rigidez e análise eficiente de deformações em estruturas.

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