Em uma análise estrutural de uma viga submetida a esforcos, os deslocamentos de pontos sobre a viga podem ser representados por vetores no plano bidimensional indicando o quanto esses pontos se moveram nas direções horizontal e vertical.
Suponha que uma transformação linear represente o efeito de uma deformação plana aplicada à estrutura. Essa transformação é dada por: ( pontos)
a) Mostre que T é uma transformação linear.
b) Encontre a matriz associada a T.
c) Calcule a imagem do vetor e interprete fisicamente o significado desse resultado.
d) Determine se o vetor está no conjunto imagem da transformação.
e) Qual a importância de representações lineares como essa na análise de deformações em estruturas da engenharia civil.
Passo 1
O enunciado define a transformação dada por
O que precisamos usar aqui é a definição de transformação linear (preservar soma e multiplicação por escalar), a forma matricial de uma aplicação de em , e conceitos de imagem de . Também vamos interpretar fisicamente o vetor resultante como deslocamento numa viga.
Passo 2
Para mostrar que é linear, tomamos vetores arbitrários e em e um escalar . Então:
E para o escalar :
Como preserva soma e multiplicação por escalar, concluímos que é linear.
Passo 3
Para achar a matriz associada a , aplicamos aos vetores da base canônica e :
A matriz que realiza tem essas imagens como colunas, logo
]
Passo 4
Para , calculamos
Fisicamente, isso significa que o ponto que inicialmente se deslocaria por sofre, sob a deformação plana, um deslocamento total de unidades na direção horizontal e unidades na direção vertical.
Passo 5
Para verificar se
Da primeira equação vem , concluímos que pertence à imagem de .
Passo 6
Em engenharia civil, representar deformações por transformações lineares e matrizes é fundamental porque, para pequenas deformações, presume-se linearidade do material e das equações de equilíbrio. Isso permite usar o princípio da superposição, montar matrizes de rigidez e resolver sistemas de equações de forma eficiente, além de analisar características como modos próprios de vibração e direções principais de deformação.
Resposta
a) é linear pois preserva soma e multiplicação por escalar.
b) A matriz associada é
c) T(1,2)=(4,7), ou seja, o ponto se desloca 4 unidades na horizontal e 7 na vertical.
d) Sim, ,(3,5)inIm(T), pois a preimagem é l(tfrac45,tfrac75r).
e) Modelos lineares permitem a aplicação do princípio da superposição, montagem de matrizes de rigidez e análise eficiente de deformações em estruturas.