Transforme cada equação polar a seguir em uma equação em coordenadas cartesianas, e identifique o tipo de curva representada.
(e) r^2=csc 2 theta

Passo 1

O enunciado nos dá a equação polar
r^2 = csc 2theta
e pede para convertê-la em coordenadas cartesianas (x,y) e identificar o tipo de curva. Vamos usar as relações
sin2theta = 2sinthetacostheta,
sintheta = tfracyr,
costheta = tfracxr,
e r^2=x^2+y^2.

Passo 2

Primeiro escrevemos
sin2theta = 2sinthetacostheta =2yr,xr =2xyr^2
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csc2theta = 1sin2theta = r^22xy
Substituindo em r^2=csc2theta obtemos
r^2 = r^22xy
Como r^2neq0 para pontos da curva, cancelamos r^2 e ficamos com
2xy = 1

Passo 3

A equação cartesiana resultante é
2xy = 1,
ou seja
xy = tfrac12
Isso representa uma hipérbole retangular com assíntotas nos eixos x=0 e y=0.

Resposta

A equação em coordenadas cartesianas é
2xy = 1
e a curva é uma hipérbole retangular.

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