Transforme cada equação polar a seguir em uma equação em coordenadas cartesianas, e identifique o tipo de curva representada.
(g) r=sec theta(1+tan theta)

Passo 1

O enunciado pede transformar a equação polar
r = sectheta,(1+tantheta)
em coordenadas cartesianas e identificar o tipo de curva. Para isso vamos usar as relações
x = rcostheta,;y = rsintheta
e as identidades trigonométricas
sectheta = 1costheta,;tantheta = sinthetacostheta

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados de
r = sectheta,(1+tantheta)
por costheta para simplificar:
rcostheta = 1 + tantheta

Passo 3

Substituindo rcostheta = x e tantheta = yx na expressão acima, obtemos
x = 1 + yx

Passo 4

Multiplicando os dois lados por x e rearranjando, vem
x^2 = x + y
Essa é a forma cartesiana da curva.

Passo 5

A equação
x^2 - x - y = 0
é a equação padrão de uma parábola com eixo paralelo ao eixo y.

Resposta

A equação cartesiana é x^2 = x + y e a curva representada é uma parábola.

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