Determine valores MAX e MIN locais
f(x, y)=9-2 x+4 y-x^{2}-4 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores máximo e mínimo locais da função f(x,y)=9-2x+4y-x^{2}-4y^{2}.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=9-2x+4y-x^{2}-4y^{2}.
  • Não há restrição no domínio (assume-se domínio inteiro \mathbb{R}^2).
    O que se quer: encontrar pontos críticos (se houver) e dizer se nesses pontos a função tem máximo local, mínimo local ou sela.

Passo 2

Conceito importante (com explicação bem didática):
  • Um ponto crítico (candidato a máximo/minimo/sela) de uma função de duas variáveis aparece quando as derivadas parciais primeiras iguais a zero simultaneamente (ou quando alguma delas não existe). A derivada parcial em relação a x mede a taxa de variação de f se só mudarmos x mantendo y fixo; analogamente para y.
  • Vamos calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Cálculo das derivadas parciais (passo a passo):
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(9-2x+4y-x^{2}-4y^{2}\big).
Derivando termo a termo: a derivada de 9 é 0, de -2x é -2, de 4y é 0 (pois é constante em x), de -x^{2} é -2x, e de -4y^{2} é 0. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}=-2-2x.
Agora em y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(9-2x+4y-x^{2}-4y^{2}\big).
Derivando termo a termo: de 4y vem 4, de -4y^{2} vem -8y, os outros termos são constantes em y. Assim
\frac{\partial f}{\partial y}=4-8y.

Passo 3

Encontrar pontos críticos: resolver o sistema
\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}=-2-2x=0,\\[4pt] \frac{\partial f}{\partial y}=4-8y=0. \end{cases}
Resolver a primeira equação:
-2-2x=0 \quad\Rightarrow\quad -2(1+x)=0 \quad\Rightarrow\quad x=-1.
Resolver a segunda equação:
4-8y=0 \quad\Rightarrow\quad 8y=4 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{1}{2}.
Portanto há exatamente um ponto crítico: \big(-1,\tfrac{1}{2}\big).]

Passo 4

Calcular o valor da função nesse ponto (para conhecer o valor máximo/minimo candidato). Substituir \;x=-1 e \;y=\tfrac{1}{2} em f:
f(-1,\tfrac{1}{2})=9-2(-1)+4\big(\tfrac{1}{2}\big)-(-1)^{2}-4\big(\tfrac{1}{2}\big)^{2}.
Calculemos passo a passo:
-2(-1)=2,\qquad 4\big(\tfrac{1}{2}\big)=2,\qquad (-1)^{2}=1,\qquad \big(\tfrac{1}{2}\big)^{2}=\tfrac{1}{4},\qquad 4\cdot\tfrac{1}{4}=1.
Somando/subtraindo:
f(-1,\tfrac{1}{2})=9+2+2-1-1=11.
Então o valor da função no ponto crítico é \;11.

Passo 5

Teste da segunda derivada (Hessiano) — explicação e cálculo:
  • Para classificar um ponto crítico em duas variáveis usamos a matriz Hessiana, que reúne as segundas derivadas parciais:
H_f(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix},
onde f_{xx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}, f_{yy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} e f_{xy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.
  • Regra prática (teste de Sylvester simples em 2D): calcule D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}. Se D>0 e f_{xx}<0 então há máximo local; se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local; se D<0 é ponto de sela; se D=0 o teste é inconclusivo.
Calculemos as segundas derivadas para a nossa função:
A partir de \frac{\partial f}{\partial x}=-2-2x obtemos
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(-2-2x)=-2.
A partir de \frac{\partial f}{\partial y}=4-8y obtemos
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(4-8y)=-8.
E como não há termos mistos em f (os cruzamentos dependem de x e y separadamente), temos
f_{xy}=f_{yx}=0.
Agora o determinante
D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}=(-2)\cdot(-8)-0^{2}=16>0.
E f_{xx}=-2<0. Pelas regras acima, quando D>0 e f_{xx}<0 o ponto crítico é um máximo local.]

Passo 6

Verificação alternativa (completar quadrados) — interpretação intuitiva:
Reescrevendo a função agrupando termos em x e y,
f(x,y)=9-2x+4y-x^{2}-4y^{2}.
Completar quadrado em x:
-x^{2}-2x=-(x^{2}+2x)=-(x+1)^{2}+1.
Completar quadrado em y:
-4y^{2}+4y=-4\big(y^{2}-y\big)=-4\Big((y-\tfrac{1}{2})^{2}-\tfrac{1}{4}\Big)=-4(y-\tfrac{1}{2})^{2}+1.
Somando tudo:
f(x,y)=9 +\big[-(x+1)^{2}+1\big] +\big[-4(y-\tfrac{1}{2})^{2}+1\big]=11-(x+1)^{2}-4(y-\tfrac{1}{2})^{2}.
Dessa forma fica claro que (x+1)^{2} e (y-\tfrac{1}{2})^{2} são sempre não-negativos, então f(x,y)\le 11 para todo (x,y), com igualdade somente quando (x+1)^{2}=0 e (y-\tfrac{1}{2})^{2}=0, isto é, em (x,y)=\big(-1,\tfrac{1}{2}\big). Isso confirma que o ponto crítico é um máximo (na verdade máximo global) com valor 11. Não existem mínimos locais porque a função tende a -\infty quando |x| ou |y| crescem (os termos quadráticos negativos dominam).

Resposta

Máximo local (e global): em \big(-1,\tfrac{1}{2}\big), com valor f(-1,\tfrac{1}{2})=11.
Mínimo local: não existe (nenhum mínimo local).

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