Determine valores MAX e MIN locais f(x, y)=9-2 x+4 y-x^{2}-4 y^{2}
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores máximo e mínimo locais da função f(x,y)=9-2x+4y-x^{2}-4y^{2}.
Informações dadas:
A função é f(x,y)=9-2x+4y-x^{2}-4y^{2}.
Não há restrição no domínio (assume-se domínio inteiro \mathbb{R}^2).
O que se quer: encontrar pontos críticos (se houver) e dizer se nesses pontos a função tem máximo local, mínimo local ou sela.
Passo 2
Conceito importante (com explicação bem didática):
Um ponto crítico (candidato a máximo/minimo/sela) de uma função de duas variáveis aparece quando as derivadas parciais primeiras iguais a zero simultaneamente (ou quando alguma delas não existe). A derivada parcial em relação a x mede a taxa de variação de f se só mudarmos x mantendo y fixo; analogamente para y.
Vamos calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
onde f_{xx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}, f_{yy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} e f_{xy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.
Regra prática (teste de Sylvester simples em 2D): calcule D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}. Se D>0 e f_{xx}<0 então há máximo local; se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local; se D<0 é ponto de sela; se D=0 o teste é inconclusivo.
Calculemos as segundas derivadas para a nossa função:
A partir de \frac{\partial f}{\partial x}=-2-2x obtemos
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(-2-2x)=-2.
A partir de \frac{\partial f}{\partial y}=4-8y obtemos
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(4-8y)=-8.
E como não há termos mistos em f (os cruzamentos dependem de x e y separadamente), temos
Dessa forma fica claro que (x+1)^{2} e (y-\tfrac{1}{2})^{2} são sempre não-negativos, então f(x,y)\le 11 para todo (x,y), com igualdade somente quando (x+1)^{2}=0 e (y-\tfrac{1}{2})^{2}=0, isto é, em (x,y)=\big(-1,\tfrac{1}{2}\big). Isso confirma que o ponto crítico é um máximo (na verdade máximo global) com valor 11. Não existem mínimos locais porque a função tende a -\infty quando |x| ou |y| crescem (os termos quadráticos negativos dominam).
Resposta
Máximo local (e global): em \big(-1,\tfrac{1}{2}\big), com valor f(-1,\tfrac{1}{2})=11.
Mínimo local: não existe (nenhum mínimo local).