Uma barra delgada tem comprimento L e uma carga total Q^{\prime}>0. A barra está disposta ao longo do eixo x, com a extremidade esquerda na origem do referencial 2D. Considerando que a densidade linear de cargas da barra é \lambda=\mathrm{x}^{\prime}, com 0 \leq x^{\prime} \leq L, calcule:
a) A relação entre a carga total da barra, Q’, e o seu comprimento, L.
b) O campo elétrico total no ponto ( \mathrm{m}, 0 ), onde \mathrm{m}>0 e \mathrm{m}>\mathrm{L}.

Passo 1

O enunciado dá uma barra fina colocada ao longo do eixo x com a extremidade esquerda na origem. As informações importantes são:
  • Comprimento da barra: L.
  • Densidade linear de carga: \lambda(x') = x' para 0 \le x' \le L.
  • Carga total da barra: Q^{\prime}>0 (é pedida a relação entre Q^{\prime} e L).
  • Ponto onde se quer o campo: (m,0), com m>0 e m>L (ou seja, o ponto está à direita de toda a barra).
    As perguntas do enunciado são:
    (a) Encontrar a relação entre Q^{\prime} e L.
    (b) Calcular o campo elétrico total em (m,0).

Passo 2

Entendendo \lambda e como obter a carga total. \lambda(x') é a densidade linear de carga: a carga em um pequeno trecho de comprimento dx' em posição x' é
dq=\lambda(x')\,dx'.
Para obter a carga total Q^{\prime} somamos (integrando) esses dq ao longo de toda a barra, de x'=0 até x'=L:
Q^{\prime}=\int_{0}^{L}\lambda(x')\,dx'.
Como \lambda(x')=x', substituímos na integral:
Q^{\prime}=\int_{0}^{L}x'\,dx'.

Passo 3

Cálculo explícito da integral para Q^{\prime}. A integral de x' é fácil: a primitiva de x' é \dfrac{{x'}^{2}}{2}. Então
Q^{\prime}=\left[\dfrac{{x'}^{2}}{2}\right]_{0}^{L}=\dfrac{L^{2}}{2}-0=\dfrac{L^{2}}{2}.
Portanto a relação pedida (resposta da parte a) é \,Q^{\prime}=\dfrac{L^{2}}{2}\,.

Passo 4

Montando a expressão para o campo elétrico no ponto (m,0).
  • Teoria que vamos usar (Coulomb para elemento de carga): o campo elétrico gerado por um elemento dq situado em x' no eixo x, no ponto x=m (também no eixo x), tem módulo
dE=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{dq}{r^{2}},
onde r é a distância entre o elemento e o ponto de observação e o vetor campo aponta ao longo do eixo x. Aqui r=m-x' (positivo porque m>x'). Como todas as cargas são positivas, o campo produzido por cada elemento em m aponta para a direita, isto é na direção +\hat{x}.
  • O elemento de carga é dq=\lambda(x')\,dx'=x'\,dx'.
    Logo o campo diferencial (na direção +\hat{x}) é
d\vec{E}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{x'\,dx'}{(m-x')^{2}}\,\hat{x}.
Somando (integrando) todos os elementos desde x'=0 até x'=L obtemos o campo total:
\vec{E}(m,0)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\int_{0}^{L}\dfrac{x'}{(m-x')^{2}}\,dx'\right)\hat{x}.

Passo 5

Cálculo da integral \displaystyle I=\int_{0}^{L}\dfrac{x'}{(m-x')^{2}}\,dx'.
Fazemos a substituição u=m-x'. Então du=-dx' e x'=m-u.
  • Limites: quando x'=0 tem u=m; quando x'=L tem u=m-L.
  • A integral fica
I=\int_{u=m}^{u=m-L}\dfrac{m-u}{u^{2}}(-du)=\int_{u=m-L}^{u=m}\left(\dfrac{m}{u^{2}}-\dfrac{1}{u}\right)du.
Agora integramos termo a termo:
\int\!\dfrac{m}{u^{2}}du=-\dfrac{m}{u},\qquad \int\!\dfrac{1}{u}du=\ln u.
Portanto
I=\left[-\dfrac{m}{u}-\ln u\right]_{u=m-L}^{u=m}.
Avaliaremos a diferença:
I=\left(-\dfrac{m}{m}-\ln m\right)-\left(-\dfrac{m}{m-L}-\ln(m-L)\right).
Simplificando:
I=-1-\ln m +\dfrac{m}{m-L}+\ln(m-L).
Reorganizando os termos usando \ln(m-L)-\ln m=\ln\!\dfrac{m-L}{m} e \dfrac{m}{m-L}-1=\dfrac{L}{m-L}, obtemos uma forma mais compacta:
I=\dfrac{L}{m-L}+\ln\!\dfrac{m-L}{m}.
Uma outra forma equivalente, trocando o sinal do logaritmo, é
I=\dfrac{L}{m-L}-\ln\!\dfrac{m}{m-L}.

Passo 6

Substituindo I na expressão do campo total. Lembrando que
\vec{E}(m,0)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,I\,\hat{x},
temos finalmente
\vec{E}(m,0)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\dfrac{L}{m-L}-\ln\!\dfrac{m}{m-L}\right)\hat{x}.
Isto aponta para a direita ( +\hat{x}) porque todas as cargas são positivas e o ponto está à direita da barra.

Passo 7

Checagem de comportamento à distância (conselhinho de físico-estudante): para m\gg L a expansão em série dá \dfrac{L}{m-L}-\ln\!\dfrac{m}{m-L}\approx\dfrac{L^{2}}{2m^{2}}. Usando Q^{\prime}=\dfrac{L^{2}}{2} isso resulta em
\vec{E}(m,0)\approx\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q^{\prime}}{m^{2}}\,\hat{x},
ou seja, para distâncias muito grandes a barra se comporta como se toda a carga estivesse concentrada na origem — checagem consistente com a física que conhecemos.

Resposta

(a) Q^{\prime}=\dfrac{L^{2}}{2}
(b) \displaystyle \vec{E}(m,0)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\!\left(\dfrac{L}{m-L}-\ln\!\dfrac{m}{m-L}\right)\hat{x}

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