Uma barra delgada tem comprimento
e uma carga total
. A barra está disposta ao longo do eixo x, com a extremidade esquerda na origem do referencial 2D. Considerando que a densidade linear de cargas da barra é
, com
, calcule:
a) A relação entre a carga total da barra, Q’, e o seu comprimento, L.
b) O campo elétrico total no ponto (
), onde
e
.
a) A relação entre a carga total da barra, Q’, e o seu comprimento, L.
b) O campo elétrico total no ponto (
Passo 1
O enunciado dá uma barra fina colocada ao longo do eixo
com a extremidade esquerda na origem. As informações importantes são:
- Comprimento da barra:
. - Densidade linear de carga:
para . - Carga total da barra:
(é pedida a relação entre e ). - Ponto onde se quer o campo:
, com e (ou seja, o ponto está à direita de toda a barra).
As perguntas do enunciado são:
(a) Encontrar a relação entree .
(b) Calcular o campo elétrico total em.
Passo 2
Entendendo
e como obter a carga total.
é a densidade linear de carga: a carga em um pequeno trecho de comprimento
em posição
é
Para obter a carga total
somamos (integrando) esses
ao longo de toda a barra, de
até
:
Como
, substituímos na integral:
Passo 3
Cálculo explícito da integral para
. A integral de
é fácil: a primitiva de
é
. Então
Portanto a relação pedida (resposta da parte a) é
.
Passo 4
Montando a expressão para o campo elétrico no ponto
.
- Teoria que vamos usar (Coulomb para elemento de carga): o campo elétrico gerado por um elemento
situado em no eixo , no ponto (também no eixo ), tem módulo
onde
é a distância entre o elemento e o ponto de observação e o vetor campo aponta ao longo do eixo
. Aqui
(positivo porque
). Como todas as cargas são positivas, o campo produzido por cada elemento em
aponta para a direita, isto é na direção
.
- O elemento de carga é
.
Logo o campo diferencial (na direção) é
Somando (integrando) todos os elementos desde
até
obtemos o campo total:
Passo 5
Cálculo da integral
.
Fazemos a substituição . Então
e
.
Fazemos a substituição
- Limites: quando
tem ; quando tem . - A integral fica
Agora integramos termo a termo:
Portanto
Avaliaremos a diferença:
Simplificando:
Reorganizando os termos usando
e
, obtemos uma forma mais compacta:
Uma outra forma equivalente, trocando o sinal do logaritmo, é
Passo 6
Substituindo
na expressão do campo total. Lembrando que
temos finalmente
Isto aponta para a direita (
) porque todas as cargas são positivas e o ponto está à direita da barra.
Passo 7
Checagem de comportamento à distância (conselhinho de físico-estudante): para
a expansão em série dá
. Usando
isso resulta em
ou seja, para distâncias muito grandes a barra se comporta como se toda a carga estivesse concentrada na origem — checagem consistente com a física que conhecemos.
Resposta
(a)
(b)
(b)