1.39 Transforme a taxa de geração g=50 \mathrm{Btu} /\left(\mathrm{h} \cdot \mathrm{ft}^{3}\right) \mathrm{em} \mathrm{W} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pedido: transformar a taxa de geração g=50\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}^{3}) para unidades de \mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}.
  • Informação dada: o valor numérico 50 e as unidades iniciais \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}^{3}).
Neste passo apenas identifiquei claramente o que precisamos calcular e os dados fornecidos. A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Estratégia de conversão (a ideia, sem cálculos ainda).
Para converter \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}^{3}) em \mathrm{W}/\mathrm{m}^{3} vamos fazer duas conversões simples e independentes:
  1. Converter energia por tempo: \mathrm{Btu}/\mathrm{h} \mathrm{W}.
  2. Converter volume: \mathrm{ft}^{3} \mathrm{m}^{3} (ou, equivalentemente, converter o fator por \mathrm{ft}^{-3} para \mathrm{m}^{-3}).
Depois multiplicamos os fatores de conversão. Agora vou mostrar as constantes e como usá-las.

Passo 3

Converter \mathrm{Btu}/\mathrm{h} em \mathrm{W} (mini-aula de energia e potência).
  • Definição útil: 1\\ \mathrm{W} = 1\\ \mathrm{J}/\mathrm{s}.
  • Constante: 1\\ \mathrm{Btu} = 1055{,}05585262\\ \mathrm{J} (valor padrão internacional).
  • Como 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}, temos:
1\\ \frac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{h}} = \frac{1055{,}05585262\\ \mathrm{J}}{3600\\ \mathrm{s}}.
Fazendo a divisão:
1\\ \frac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{h}} \approx 0{,}2930710707\\ \mathrm{W}.
Explanação: estou transformando joule por segundo (potência) usando a equivalência entre Btu e joule e entre hora e segundo.

Passo 4

Converter \mathrm{ft}^{3} em \mathrm{m}^{3} (mini-aula de comprimento e volume).
  • Constante exata: 1\\ \mathrm{ft} = 0{,}3048\\ \mathrm{m}.
  • Logo,
1\\ \mathrm{ft}^{3} = (0{,}3048\\ \mathrm{m})^{3} = 0{,}028316846592\\ \mathrm{m}^{3}.
Para passar de “por pé cúbico” para “por metro cúbico” usamos o inverso:
1\\ \mathrm{ft}^{-3} = \frac{1}{0{,}028316846592}\\ \mathrm{m}^{-3} \approx 35{,}3146667215\\ \mathrm{m}^{-3}.

Passo 5

Aplicar os fatores de conversão ao valor g e calcular passo a passo.
Escrevo a conversão completa como produto de fatores que se anulam nas unidades:
g = 50\\ \frac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}^{3}} \cdot \underbrace{\frac{0{,}2930710707\\ \mathrm{W}}{1\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{h}}}_{\text{converte Btu/h para W}} \cdot \underbrace{\frac{1\\ \mathrm{ft}^{-3}}{0{,}028316846592\\ \mathrm{m}^{-3}}}_{\text{converte ft}^{-3}\text{ para m}^{-3}}.
Primeiro multiplico por 0{,}2930710707:
50 \times 0{,}2930710707 = 14{,}653553535\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{ft}^{3}}.
Em seguida converto \mathrm{W}/\mathrm{ft}^{3} para \mathrm{W}/\mathrm{m}^{3} multiplicando por 35{,}3146667215:
14{,}653553535 \times 35{,}3146667215 \approx 517{,}4797706\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^{3}}.
Arredondando de forma razoável (o dado inicial 50 tem duas cifras significativas, mas eu mostro aqui um valor com mais dígitos para verificação), obtemos
g \approx 517{,}48\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^{3}}.
Observação pedagógica: uma forma mais direta é lembrar o fator combinado
1\\ \frac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}^{3}} \approx 10{,}349595412\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^{3}}
e então multiplicar por 50 para chegar ao mesmo resultado ( 50\times10{,}3496\approx517{,}48).

Resposta

517{,}48\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}

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