8.3A Calcule a massa de um disco de raio
, se a densidade no ponto
do disco é proporcional ao quadrado da distância a um ponto da circunferência.
Passo 1
O enunciado pede a massa de um disco de raio
cuja densidade em cada ponto
é proporcional ao quadrado da distância desse ponto a um ponto fixo da circunferência. O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas polares, usando que a densidade vale
onde
é a constante de proporcionalidade e
é a distância de
ao ponto escolhido na circunferência.
Passo 2
Escolhemos sem perda de generalidade o ponto da circunferência em
. Assim
A massa do disco é
Passo 3
Passamos a coordenadas polares centradas na origem:
Nesse sistema
Logo
Passo 4
Separamos a integral em termos que dependem ou não de
:
Calculamos
e
Então