8.3A Calcule a massa de um disco de raio a, se a densidade no ponto (x, y) do disco é proporcional ao quadrado da distância a um ponto da circunferência.

Passo 1

O enunciado pede a massa de um disco de raio a cuja densidade em cada ponto (x,y) é proporcional ao quadrado da distância desse ponto a um ponto fixo da circunferência. O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas polares, usando que a densidade vale
rho(x,y) = k ,d^2(x,y),
onde k é a constante de proporcionalidade e d(x,y) é a distância de (x,y) ao ponto escolhido na circunferência.

Passo 2

Escolhemos sem perda de generalidade o ponto da circunferência em (a,0). Assim
d^2(x,y) = (x - a)^2 + y^2
A massa do disco é
M = integral duplax^2+y^2<= a^2 rho(x,y),dA = kintegral duplax^2+y^2<= a^2l[(x-a)^2 + y^2r],dA

Passo 3

Passamos a coordenadas polares centradas na origem:
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta, 0<= r<= a,;0<=theta<=2pi
Nesse sistema
(x-a)^2 + y^2 = (rcostheta - a)^2 + r^2sin^2theta = r^2 -2arcostheta + a^2
Logo
M = kintegral0^2piintegral0^al(r^2 -2arcostheta + a^2r),r,dr,dtheta

Passo 4

Separamos a integral em termos que dependem ou não de costheta:
M = kl[ integral0^2pi!integral0^a(r^3 + a^2r),dr,dtheta -2aintegral0^2picostheta,dthetaintegral0^ar^2,dr r]
Calculamos
integral0^a(r^3 + a^2r),dr = a^44 + a^42 = 3a^44,
e
integral0^2picostheta,dtheta = 0
Então
M = kl(2picdottfrac3a^44r) = 3pi2,k,a^4

Resposta

M = 3pi2,k,a^4

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