Determine a massa, o centro de massa e os momentos de inércia Ix, Iy da lâmina de densidade sigma(x, y) e formato D :
D: y=raizx, x=9, y=0 ; sigma=x+y

Passo 1

O enunciado pede a massa M, o centro de massa l(bar x,bar yr) e os momentos de inércia Ix, Iy de uma lâmina de densidade sigma(x,y)=x+y no domínio
D=(x,y)mid 0<= y<= raizx,;0<= x<= 9
Vamos usar integrais duplas no ordenamento y primeiro e depois x.

Passo 2

Cálculo da massa
M=integral duplaDl(x+yr),dA =integralx=0^9integraly=0^raizx!(x+y),dy,dx
Inner integral:
integral0^raizx!(x+y),dy =l[x,y+tfracy^22r]0^raizx = xraizx+tfracx2 = x^3/2+tfracx2
Agora
M =integral0^9l(x^3/2+tfracx2r),dx =l[tfrac25x^5/2+tfrac14x^2r]0^9 =tfrac25,9^5/2+tfrac14,9^2 =tfrac4865+tfrac814 =234920

Passo 3

Cálculo de bar x e bar y.
bar x=(1/M)integral duplaDx,(x+y),dA e
bar y=(1/M)integral duplaDy,(x+y),dA.
Para integral dupla x(x+y),dA:
integral0^9integral0^raizx!(x^2+x,y),dy,dx =integral0^9l[x^2raizx+tfracx^22r]dx =integral0^9l(x^5/2+tfracx^22r)dx =l[tfrac27x^7/2+tfrac16x^3r]0^9 =tfrac43747+tfrac2432 =1044914
Logo
bar x =1044914234920 =1290203
Para integral dupla y(x+y),dA:
integral0^9integral0^raizx!(x,y+y^2),dy,dx =integral0^9l[tfracx^22+tfracx^3/23r]dx =l[tfracx^36+tfrac215x^5/2r]0^9 =tfrac2432+tfrac1625 =tfrac153910
Portanto
bar y =153910234920 =3829

Passo 4

Cálculo dos momentos de inércia:
Ix =integral duplaDy^2,(x+y),dA =integral0^9integral0^raizx!(x,y^2+y^3),dy,dx =integral0^9l[tfracx^5/23+tfracx^24r]dx =l[tfrac221x^7/2+tfrac112x^3r]0^9 =tfrac14587+tfrac2434 =753328
Iy =integral duplaDx^2,(x+y),dA =integral0^9integral0^raizx!(x^3+x^2y),dy,dx =integral0^9l[x^7/2+tfracx^32r]dx =l[tfrac29x^9/2+tfrac18x^4r]0^9 =4374+tfrac65618 =415538

Resposta

M = dfrac234920,
bar x = dfrac1290203,
bar y = dfrac3829, Ix = dfrac753328,
Iy = dfrac415538

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